差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（多元数）$$z$$ の累乗は $$r=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ より構成される代数的多項式 を用いた漸化式より得られる数列 $$P$$、$$QA_n$$ を用いて $$Pz+Qz$$ という一次結合の形で表せるという定理である。の一次結合の形で表せるという定理である。

両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=rz^2-lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz-1$$ を代入することで $$Pz+Qz$$ の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を $$Pz+Q$$ の形へと帰結させて恒等式を得る。の一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を同形へと帰結させることで漸化式を得る。

複素平面上において、複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とするベクトル を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z$$ を終点とするベクトル を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ は線形独立である。において、原点を中心として $$\vec{ts}$$ を、原点を中心として と $$\vec{st}$$ と の成す角度の整数倍だけ $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍回転させて得られるベクトル を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\vec{ut'}$$ は、本定理によって は、$$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。すなわち、次のような幾何イメージを得る。を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。