差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（多元数）$$z$$ の累乗は $$r=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ より構成される代数的多項式 $$P$$、$$Q$$ を用いて $$Pz+Q$$ という一次結合の形で表わせるという定理である。という一次結合の形で表せるという定理である。

複素数 $$z$$ の 正整数 整数 $$n$$ 乗を、乗は、$$r=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ を用いて次のように表す。を用いて次のように表せる。 :$$\displaystyle z^n=\left[\sum_A_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{nz-k-1}{k}(-1)^kr^A_{n-2k-1}l^{k}\right]z-quad\left[\sum_begin{kcases}A_0=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}A_1=1\\binomA_{n-k-2}=(A_{k}(-1})^kr^r-(A_{n-2kk-2})l^\end{kcases}\right]l$$

また、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=1$$ であることから:$$\displaystyle z^n=\left[\sum_A_{k=0n}^z-A_{\lfloor (n-1)/2}\rfloor}quad\binom{n-k-1}begin{kcases}(-1)^k(2A_0=0\cos\theta)^{n-2k-A_1=1}\right]z-\left[\sum_A_{k}=0}^(A_{\lfloor (nk-21})/2\rfloor}\binomr-(A_{n-k-2})=2(A_{k}(-1})^k(2\cos\theta)^-(A_{n-2kk-2})\right]end{cases}$$

複素平面上において、$$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とするベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし実数ではない任意の複素数 $$z$$ を終点とするベクトル $$\vec{t}$$ は線形独立である。$$\vec{t}$$ を、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍回転させて得られるベクトル $$\vec{u}$$ は、ガラパゴ累乗定理によって は、本定理によって $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。すなわち、次のような幾何イメージを得る。  <center>ガラパゴ累乗定理の幾何イメージ</center>[[ファイル:ガラパゴ累乗定理.png |480px|center|border|ガラパゴ累乗定理のイメージ]]

ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。これはガラパゴ累乗定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくはの整式で表せるという定理である。これは本定理の応用によって得られるものであるが、詳しくは[[ガラパゴ三辺比定理]]を参照のこと。

これらの関数 $$\cos(x,z)$$ と $$\sin(x,z)$$ のマクローリン展開形は、ガラパゴ累乗定理によって示すことが可能である。詳しくはのマクローリン展開形は、本定理によって示すことが可能である。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。