489
回編集
差分
編集の要約なし
'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 （ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（あるいは多元数） $$z$$ の累乗は $$r=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ の多項式 $$P$$、$$Q$$ を用いて $$Pz+Q$$ の形で表わせるという定理である。
[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、実数 $$+1$$ と複素数 $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の幾何を扱うことを主目的として [[みゆ]] によって導出された。
両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=rz^2-lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz-1$$ を代入することで $$Pz+Q$$ の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を $$Pz+Q$$ の形へと帰結させて恒等式を得る。
また、$$\bar{z}$$ を $$z$$ の共役とすれば $$\bar{z}\cdot z$$ は偏角が相殺されるため絶対値同士の積 $$|z|^2$$ に一致する。上記は本質的に
:$$z=2\mathrm{Re}(z)-\bar{z}\\
z^2=2\mathrm{Re}(z)z-\bar{z}z=2\mathrm{Re}(z)z-|z|^2$$
を示したものであり、すなわちこの概念は四元数など多元数においても適用可能であることが分かる。
==幾何への応用==