===みゆの三辺比定理===
$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を元とする基底空間において、内角の一つに $$\psi=(\pi-\theta)~\mathrm{rad}$$ をもつ三角形を想定する。 $$\psi~\mathrm{rad}$$ である内角の対辺を $$x+yz$$ で表現する。ここで見出すことのできる三角形の三辺比は、:$$x$$ ： $$y$$ ： $$|x+yz|$$であるが、余弦定理を用いることで次のようにも表現できる。:$$x$$ ： $$y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\psi}$$この三角形における $$\psi~\mathrm{rad}$$ の対辺に対し、原点側の内角を２倍して得られる直線は:$$(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz$$を通る。この座標はみゆの累乗恒等式を用いることで:$$(x+yz)^2=x^2+y^2(2z\cos\theta-1)+2xyz=(x^2-y^2)+2(x+y\cos\theta)yz$$と表すことができ、これによって示される新たな三角形の三辺比は:$$x^2-y^2$$ : $$2(x+y\cos\theta)y$$ ： $$|x+yz|^2$$である。これは先程の余弦定理を用いた表現によって:$$x^2-y^2$$ : $$2(x+y\cos\theta)y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\psi}^2$$と置き換えることができ、$$\theta$$ と $$\psi$$ の関係から:$$x^2-y^2$$ : $$2(x-y\cos\psi)y$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\psi$$と言える。この比は、内角の一つに $$\psi~\mathrm{rad}$$ を持つ三角形の三辺比を示しており、 このような三辺比を代数比で表現できるという定理を発見者の みゆ にちなんで'''[[みゆの三辺比定理'''という。 ちなみに、余弦定理を用いると以下の恒等式を導くことができる。:$$(x^2-y^2)^2+\left[2(x-y\cos\psi)y\right]^2-4(x^2-y^2)(x-y\cos\psi)\cos\psi=(x^2+y^2-2xy\cos\psi)^2$$ また、$$\cos\psi$$ が有理数値であるような内角を持つ三角形の三辺比は、みゆの三辺比定理を用いて整数比で表すことができる。 内角の一つが $$\psi=~\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}~(90^{\circ})$$ である三角形の三辺比:$$x^2-y^2$$ ： $$2xy$$ ： $$x^2+y^2$$内角の一つが $$\psi=~\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}~(90^{\circ})$$ である三角形の三辺比:$$x^2-y^2$$ ： $$2xy-y^2$$ ： $$x^2+y^2-xy$$内角の一つが $$\psi=~\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}~(90^{\circ})$$ である三角形の三辺比:$$x^2-y^2$$ ： $$2xy+y^2$$ ： $$x^2+y^2+xy$$]は、みゆの累乗恒等式を用いて示すことができる。