差分

'''ガラパゴ数学'''(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の座標または座標によって示される大きさを数と捉える数学の考え方（視点）である。がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の大きさ（量）や位置（座標）を数と捉える数学の思考体系（視点）である。

ガラパゴ数学では、量や位相といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「量」や「位相」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義している。ここでいう量とは形状や方向といった概念を内包する１次元（１階）以上の大きさ、位相とは特定の場所を示す無次元（無階）の位置情報のことで、量に対してラベリングされる（された）名前を ガラパゴ数学では、大きさや位置といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「大きさ」や「位置」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義する。ここでいう大きさとはオブジェクト上に想定可能かつ方向性や形状などを有する１次元（１階）以上の情報、位置とはオブジェクト上の特定の場所を指し示す無次元（０階）の情報であり、大きさに対してラベリングされる（された）名前を '''量標量'''、位相に対してラベリングされる（された）名前を 、位置に対してラベリングされる（された）名前を '''座標''' と呼ぶ。 また、量の次元や階数を落とした視点を想定することで量標を座標とみなすことも可能である。オブジェクトに対して何らかのルールを定めて各座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を '''座標系'''と呼ぶ。と呼ぶ。また、階数を落とした視点を想定することで大きさを広義の意味での位置情報とみなすことも可能であり、その場合の量も広義の意味で座標と呼ぶ。

* オブジェクト上の任意の量に対して オブジェクト上の任意の大きさに対して $$\mathrm{P}$$ とラベリングし、これを基準量標とラベリングし、これを基準量(基底)とする。* オブジェクト上の任意の位相に対して オブジェクト上の任意の位置に対して $$\mathrm{0}$$ とラベリングし、これを基準座標(原点)とする。* 同一のオブジェクト上に定められた基準 $$\mathrm{0P}$$ と $$\mathrm{P0}$$ によってそのオブジェクトの座標系を一意に定める。

* $$\mathrm{P}$$ の指し示す方向の方向性(符号または偏角符号あるいは偏角)を '''+''' とする。* $$\mathrm{0P}$$ より を位置ベクトル、$$\mathrm{P0}$$ によって指し示される座標を をその起点とみなしたときの終点の位置に '''+1''' とラベリングする。

基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味する。このような、基準量標(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) に起因する座標系の同一性を '''姿勢''' と呼び、異なる姿勢をもった座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳）することを の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味している。そのような異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳あるいは新規ラベリング）するプロセスを '''演算''' と呼ぶ。

{| class="wikitable" style="text-align:center"

!基準座標(原点)$$\mathrm{0}$$ が異なる座標系

!基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一の座標系| style="text-align:center" | 無変換| style="text-align:center" | 座標変換

!基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が異なる座標系| style="text-align:center" | 量標変換量変換| style="text-align:center" | アフィン変換複合変換

'''加算'''（足し算）:A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準量! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$| a| a＋b|-! 座標系 B| $$\mathrm{0}$$| b|} '''減算'''（引き算）:A における 座標 a が B における 座標 b に一致するとき、B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準量! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$| a| a－b|-! 座標系 B| b| $$\mathrm{0}$$|} ===量標変換量変換===「基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量標が同一で、基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する量標変換」に該当する主な演算はに対する量変換」に該当する主な演算は'''乗除算'''であり、以下の２つに分類される。

:A における 量標 量 a が B における 基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ に一致するとき、B における 量標 量 b は A における 量標 量 a×b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準座標! colspan="2" | 量変換（量翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$| a| a×b|-! 座標系 B| $$\mathrm{P}$$| b|}

:A における 量標 量 a が B における 量標 量 b に一致するとき、B における 基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ は A における 量 a÷b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準座標! colspan="2" | 量変換（量翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$| a| a÷b|-! 座標系 B| b| $$\mathrm{P}$$|}

===座標変換===「基準量標(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する座標変換」に該当する主な演算は加減算と乗除算を合わせて'''加減算四則演算'''であり、以下の２つに分類される。と呼び、それらは次のような対称性を持つ。

'''加算'''（足し算）{| class="wikitable" style="text-align:center"|-! rowspan="2" | 演算! colspan="2" | 座標系 A と B の関係! rowspan="2" | 変換対象! colspan="3" | 一致条件! colspan="3" | 変換（翻訳）|-! 同! 異! 座標系 A!! 座標系 B! 座標系 B!:! 座標系 A における |-! 加算（足し算）! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$! rowspan="2" | 座標| rowspan="2" | 座標 a が B における | rowspan="2" | =| 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における | 座標 b は A における 座標 | rowspan="2" | →| a＋b|-'''減算'''（引き算）! 減算（引き算）:A における 座標 a が B における | 座標 b に一致するとき、B における 基準座標（原点） | 基準座標 $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 | a－b|-! 乗算（掛け算）! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$! rowspan="2" | 量| rowspan="2" | 量 a| rowspan="2" | =乗除算と加減算を合わせて'''四則演算'''と呼ぶ。| 基準量 $$\mathrm{P}$$| 量 b| rowspan="2" | →| a×b|-! 除算（割り算）| 量 b| 基準量 $$\mathrm{P}$$| a÷b|}