'''ガラパゴ数学'''(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の座標または座標によって示される大きさを数と捉える数学の考え方（視点）である。がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の大きさ（量）や位置（座標）を数と捉える数学の思考体系（視点）である。
==はじめに==
ガラパゴ数学は既存の数学とは異なる思考体系を持つことに注意されたい。
==数==
ガラパゴ数学では、量や位相といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上の「量」や「位相」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義している。ここでいう量とは方向や形状によって示される１次元（１階）以上の大きさの一般概念、位相とは特定の場所を示す無次元（無階）の位置情報のことで、量に対してラベリングされた名前を ガラパゴ数学では、大きさや位置といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「大きさ」や「位置」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義する。ここでいう大きさとはオブジェクト上に想定可能かつ方向性や形状などを有する１次元（１階）以上の情報、位置とはオブジェクト上の特定の場所を指し示す無次元（０階）の情報であり、大きさに対してラベリングされる（された）名前を '''量標量'''、位相に対してラベリングされた名前を 、位置に対してラベリングされる（された）名前を '''座標''' と呼ぶ。 また、量の次元や階数を落とした視点を想定することで量標を座標とみなすことも可能であり、オブジェクトに対して何らかのルールを定めることで座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を '''座標系''' と呼ぶ。と呼ぶ。また、階数を落とした視点を想定することで大きさを広義の意味での位置情報とみなすことも可能であり、その場合の量も広義の意味で座標と呼ぶ。
==座標系==
オブジェクトに対して何らかのルールを定めて各座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を '''座標系'''と呼ぶ。
ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。
* オブジェクト上に任意の量を定めて オブジェクト上の任意の大きさに対して $$\mathrm{P}$$ とラベリングし、これを基準量標とラベリングし、これを基準量(基底)とする。* オブジェクト上に任意の位相を定めて オブジェクト上の任意の位置に対して $$\mathrm{0}$$ とラベリングし、これを基準座標(原点)とする。* 同一のオブジェクト上に定められた 同一のオブジェクト上に定められた基準 $$\mathrm{0P}$$ と $$\mathrm{P0}$$ によってそのオブジェクトの座標系が一意に定まる。によってそのオブジェクトの座標系を一意に定める。
特に ===標準座標系===標準座標系とは、$$\mathrm{P}$$ を１階のテンソルとして表現できるときの大きさが１次元（$$\mathrm{P}$$ が１階のテンソルを用いて表現可能）の場合の座標系である。具体例としては、実数や複素数など多元数範囲で表現可能なユークリッド座標系が挙げられる。 * $$\mathrm{P}$$ の大きさ(絶対値)に を '''1''' と名付ける。とする。* $$\mathrm{P}$$ の指し示す方向の方向性(符号または偏角符号あるいは偏角)に を '''+''' と名付ける。とする。* $$\mathrm{0P}$$ を基準として を位置ベクトル、$$\mathrm{P0}$$ によって指し示される座標を をその起点とみなしたときの終点の位置に '''+1''' とラベリングする。
混同の恐れがない限り、座標の +1 は単に 1 と略すことができる。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!
!ラベリング
!基準
|-
!大きさ情報
| 量
| 基底 $$\mathrm{P}$$（標準座標系：$$\mathrm{1}$$）
|-
!位置情報
| 座標
| 原点 $$\mathrm{0}$$（標準座標系：$$\mathrm{0}$$）
|}
==演算==
基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味する。の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味している。そのような異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳あるいは新規ラベリング）するプロセスを '''演算''' と呼ぶ。
異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳）することを '''演算''' と呼ぶ。 {| class="wikitable" style="text-align:center"
!
!基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一の座標系
!基準座標(原点)$$\mathrm{0}$$ が異なる座標系
|-
!基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一の座標系| style="text-align:center" | 無変換| style="text-align:center" | 座標変換
|-
!基準量標基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が異なる座標系| style="text-align:center" | 量標変換量変換| style="text-align:center" | アフィン変換複合変換
|}
===座標変換===
「基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する座標変換」に該当する主な演算は'''加減算'''であり、以下の２つに分類される。
===量標変換（乗除算）==='''加算'''（足し算）既存数学における乗除算とは「基準座標:A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量標(基底) に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準量! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と | a| a＋b|-! 座標系 B に対する量標変換」に該当し、主に'''乗算'''と'''除算'''の二種類に分けられる。| $$\mathrm{0}$$| b|}
乗算（掛け算）'''減算'''（引き算）:A における 量標 座標 a が B における 基準量標座標 b に一致するとき、B における 基準座標(基底原点) $$\mathrm{P0}$$ に一致するとき、B における 量標 b は A における 量標 a×b座標 a－b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準量! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$| a| a－b|-! 座標系 B| b| $$\mathrm{0}$$|}
除算（割り算）===量変換===:A における 量標 a が B における 量標 b に一致するとき、B における 基準量標「基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ は の異なる座標系 A における 量 a÷bと B に対する量変換」に該当する主な演算は'''乗除算'''であり、以下の２つに分類される。
'''乗算'''（掛け算）
:A における 量 a が B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ に一致するとき、B における 量 b は A における 量 a×b
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
!
! 基準座標
! colspan="2" | 量変換（量翻訳）
|-
! 座標系 A
| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$
| a
| a×b
|-
! 座標系 B
| $$\mathrm{P}$$
| b
|}
===座標変換（加減算）==='''除算'''（割り算）既存数学における加減算とは「基準量標:A における 量 a が B における 量 b に一致するとき、B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) は A における 量 a÷b:{| class="wikitable" style="text-align:center"!! 基準座標! colspan="2" | 量変換（量翻訳）|-! 座標系 A| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と | a| a÷b|-! 座標系 B に対する座標変換」に該当し、主に'''加算'''と'''減算'''の二種類に分けられる。| b| $$\mathrm{P}$$|}
加算（足し算）
:A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b
減算（引き算）:A における 座標 a が B における 座標 b に一致するとき、B における 基準座標（原点） $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b加減算と乗除算を合わせて'''四則演算'''と呼び、それらは次のような対称性を持つ。
{| class="wikitable" style="text-align:center"乗除算と加減算を合わせて'''四則演算'''と呼ぶ。|-! rowspan="2" | 演算! colspan="2" | 座標系 A と B の関係! rowspan="2" | 変換対象! colspan="3" | 一致条件! colspan="3" | 変換（翻訳）|-! 同! 異! 座標系 A!! 座標系 B! 座標系 B!! 座標系 A|-! 加算（足し算）! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$! rowspan="2" | 座標| rowspan="2" | 座標 a| rowspan="2" | =| 基準座標 $$\mathrm{0}$$| 座標 b| rowspan="2" | →| a＋b|-! 減算（引き算）| 座標 b| 基準座標 $$\mathrm{0}$$| a－b|-! 乗算（掛け算）! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$! rowspan="2" | 量| rowspan="2" | 量 a| rowspan="2" | =| 基準量 $$\mathrm{P}$$| 量 b| rowspan="2" | →| a×b|-! 除算（割り算）| 量 b| 基準量 $$\mathrm{P}$$| a÷b|}
例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれを a とすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を f(x)=a+x という関係性で同一視し、これを足し算とみなす。
==関連項目==
* [[ガラパゴ数列]]
* [[ガラパゴ累乗定理]]