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ちなみに、この $$z$$ の一次式の係数を $$S_n=G_n$$、$$C_n=(-z\cdotp\overline{z})G_{n-1}$$、$$S_n=G_n$$ と表すならば、それぞれの数列は次のように行列の積でも表現可能である。
=&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-\overline{z}&-z\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}z^n&0\\0&\overline{z}^{~n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-\overline{z}\end{pmatrix}\\
=&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z\cdotp\overline{z})(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z\cdotp\overline{z})(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle\frac{1}{2\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^n)\\2\mathrm{Im}~z^n&2\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle\frac{1}{\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^n)\\\mathrm{Im}~z^n&\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\
\end{align*}$$