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差分
編集の要約なし
特に $$|z|=1$$ のとき、$$\begin{cases}z\cdotp\overline{z}=1\\z+\overline{z}=2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)\\\end{cases}$$ であることから、
:$$\displaystyle G_n=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k+1}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k+1}$$
と表せる。
:$$\displaystyle G'_n=\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}$$ $$\huge($$$$n$$ が奇数のとき展開可能 $$\displaystyle G'_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-\overline{z})^{~k}\cdot z^{n-k-1}\huge)$$
特に $$|z|=1$$ のとき、$$\begin{cases}z\cdotp\overline{z}=1\\z+\overline{z}=2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)\\\end{cases}$$ であることから、
:$$\displaystyle G'_n=\frac{\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$ $$\huge($$$$n$$ が奇数のとき $$\displaystyle G'_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{~k}\cdot z^{n-2k-1}\huge)$$
と表せる。
(z-\overline{z})G'_n=&\frac{(z^n+\overline{z}^n)(z-\overline{z})}{z+\overline{z}}\\\\
\therefore~G'_n=&\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}\end{align*}$$
$$\huge($$$$n$$ が奇数のとき展開可能 $$\displaystyle G'_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-\overline{z})^{~k}\cdot z^{n-k-1}\huge)$$