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'''ガラパゴ三辺比定理'''（ガラパゴさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABCOAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$ABOA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$ACAB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$BCOB$$ を $$BO$$ を中心として $$\angle BO$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。
[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、[[みゆ]] により考案された。特に $$\theta=\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}$$ の場合は'''ピタゴラスの定理II'''、'''ピタツー'''などの愛称で呼ばれることもあり、整数の性質を扱うときは主にそちらが用いられる。
==概要==
辺 $$ABOA$$ の長さが $$x$$、辺 $$ACAB$$ の長さが $$y$$、これら二辺の成す内角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であるようなユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABCOAB$$ の三辺比は次の通りである。
:$$x$$ ： $$y$$ : $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$
この三辺比は、$$ABOA$$ 上に $$\angle BAOA'CB$$ が直角となるような点 $$A'$$ を置くことで（その直角を挟む辺の長さが $$x+y\cos(\pi-\theta)$$ と $$y\sin(\pi-\theta)$$ であることから）容易に導出できるが、三平方の定理に起因する平方根項が存在するため整式の比とはなっていない。
しかし、$$\angle BO$$ を偶数倍すなわち辺 $$BCOB$$ を $$BO$$ を中心として回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ の整式で表すことができる。
$$\angle BO$$ を２倍した場合
:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2cy^2$$ ： $$x^2+y^2-2cxy$$
$$\angle BO$$ を４倍した場合
:$$x^4+y^4-6x^2y^2+8cxy^3-4c^2y^4$$ ： $$-4x^3y+4xy^3+12cx^2y^2-4cy^4-16c^2xy^3+8c^3y^4$$ ： $$(x^2+y^2-2cxy)^2$$
このとき、三辺比の第一項と第二項に対応する二辺の成す角の角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。ここでいう二辺の成す角とは必ずしも三角形の内角を指すものではない。辺 $$AB$$ と辺 $$AC$$ の伸縮によっていずれか一方のみが負数倍となる場合、三角形としては内角と外角が入れ替わるため、その場合は外角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であり内角は $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。
角度を２倍することの意味は、平方根項に対応する辺 $$BCOB$$ の長さを $$1$$ とする相似比 $$1$$ ： $$BCOB$$ の相似三角形を作る（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）ことで $$BCOB$$ に対応する辺の長さの２乗を作り出すことにある。従って、角度を偶数倍すれば相似比も偶数乗倍となり根号を外すことができる。
==導出==