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'''みゆの三辺比定理ガラパゴ三辺比定理'''（みゆのさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 （ガラパゴさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABC$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$AB$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AC$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$BC$$ を $$B$$ を中心として $$\angle B$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。
[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、発見者である の主定理の一つで、[[みゆ]] の名前が付いているが、特に により考案された。特に $$\theta=\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}$$ の場合は'''ピタゴラスの定理II'''、'''ピタツー'''などの愛称で呼ばれることもあり、整数の性質を扱うときは主にそちらが用いられる。
を通るといえる。（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）
この座標は[[みゆの累乗定理ガラパゴ累乗定理]]によって
\begin{align}
(x+yz)^2=&x^2+y^2(2z\cos(\pi-\theta)-1)+2xyz\\
[[ファイル:みゆの三辺比定理ガラパゴ三辺比定理.png]]
初めの操作で狭角が偶数倍になるように回転させた場合も、偶数乘の相似比を想定することになるため $$|x+yz|$$ が偶数乗されて根号は外れる。
==みゆの三辺比恒等式三辺比恒等式==みゆの三辺比定理で示される三角形の三辺比より、以下の恒等式を導くことができる。ガラパゴ三辺比定理で示される三角形の三辺比より、以下の恒等式を導くことができる。
\begin{align}
&(x^2+y^2-2xy\cos\theta)^2\\
==ガラパゴス比（拡張ピタゴラス数）==
二辺の成す角 $$θ$$ において $$\cos\theta$$ が有理数値であるような三角形の三辺比は、みゆの三辺比定理を用いると整数比で表すことができる。これは直角三角形の三辺を整数比とするピタゴラス数の純粋な拡張となっている。が有理数値であるような三角形の三辺比は、ガラパゴ三辺比定理を用いると整数比で表すことができる。これは直角三角形の三辺を整数比とするピタゴラス数の純粋な拡張となっている。
ここで、三角形の二辺の成す角が必ずしも三角形の内角とは限らないことに注意が必要である。三角形としてみた場合、辺の長さが負の値をとると内角と外角が入れ替わる。そのようなケースでは外角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であり、内角は $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。