差分

'''ガラパゴ三辺比定理'''（ガラパゴさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$cr=2\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。

 この三辺比は、$$OA$$ 上に $$\angle OA'B$$ が直角となるような点 $$A'$$ を置くことで（その直角を挟む二辺の長さがそれぞれ $$x+y\cos(\pi-\theta)$$ と $$y\sin(\pi-\theta)$$ であることから）容易に導出できるが、三平方の定理に起因する平方根項が存在するため整式の比とはなっていない。 しかし、$$\angle O$$ を偶数倍すなわち辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$cr=2\cos\theta$$ の整式で表すことができる。

:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2cyry^2$$ ： $$x^2+y^2-2cxyrxy$$

:$$x^4+y^4-6x^2y^2+8cxy4rxy^3-4cr^2y^4$$ ： $$-4x^3y+4xy^3+12cx6rx^2y^2-4cy4xy^4-16c3+4r^2xy^3-2ry^4+8cr^3y^4$$ ： $$(x^2+y^2-2cxyrxy)^2$$

このとき、三辺比の第一項と第二項に対応する二辺の成す角の角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。ここでいう二辺の成す角とは必ずしも三角形の内角を指すものではない。辺 $$ABOA$$ と辺 $$ACAB$$ の伸縮によっていずれか一方のみが負数倍となる場合、三角形としては内角と外角が入れ替わるため、その場合は外角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であり内角は $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。

角度を２倍することの意味は、平方根項に対応する辺 $$OB$$ の長さを $$1$$ とする相似比 として相似比 $$1$$ ： $$OB$$ の相似三角形を作る（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）ことで の乗算の項を参照）ことにある。その結果、$$OB$$ に対応する辺の長さの２乗を作り出すことにある。従って、角度を偶数倍すれば相似比も偶数乗倍となり根号を外すことができる。に対応する辺の長さも $$1$$：$$OB=OB$$：$$OB^2$$ となり、結果として $$OB$$ の二乗が作り出されて根号が外れている。同様に角度を偶数倍すれば相似比も偶数乗倍となり根号を外すことができる。

  である。この三角形の第三項 $$|x+yz|$$ に対応する辺を 第一項 に対応する辺を第一項 $$x$$ に対応する辺との交点を中心にそれらの狭角が２倍になるように回転した線分を延長して得られる直線は、に対応する辺との狭角が２倍になるように回転して延長したとき、これによって得られた直線は $$(x+yz)$$ を $$+1$$ とみなした相似な座標系においても とみなした相似な座標系においても同じく $$x+yz$$ を通るためを通る。 すなわちこの基底空間上の座標において、この直線は  :$$(x+yz)\times(x+yz)=(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz$$  

この座標は[[ガラパゴ累乗定理]]によってにより $$1$$ と $$z$$ の一次結合の形で表すことができる。 \begin{align}(x+yz)^2:$$r'=&x^2+y^2(2z\cos(\pi-\theta)=-2\cos\theta$$:$$z^2=r'z-1)+2xyz\$$  :$$\begin{align*}(x+yz)^2=&x^2+y^2(-2z\cos\thetar'z-1)+2xyz\\=&(x^2-y^2)+(2xy-2y+r'y^2\cos\theta)z\\\end{align*}$$  これを新たな三角形とみるならばその三辺比は  と :$$x^2-y^2$$ : $$2xy+r'y^2$$ ： $$z|x+yz|^2$$ の一次式の形で表すことができる。  すなわち 

であるが、 となっており、さらに $$z=e^{i(\pi-\theta)}=\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)$$ であるためと展開すれば  :$$\begin{align*}|x+yz|^2=&\big|[x+y\cos(\pi-\theta)]+[y\sin(\pi-\theta)]i\big|^2\\=&\left(\sqrt{[x+y\cos(\pi-\theta)]^2+[y\sin(\pi-\theta)]^2}\right)^2\\=&\left(\sqrt{(x-y\cos\theta)^2+(y\sin\theta)^2}\right)^2\\=&\left(\sqrt{x^2+y^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-2xy\cos\theta}\right)^2\\=&\left(\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}\right)^2\\=&x^2+y^2-2xy\cos\theta \end{align*}$$  であるため、したがって先程の比率は によって

と書き改めることができる。この比率は二辺の成す角が  または $$r=2\cos\theta$$ を用いて  :$$x^2-y^2$$ : $$2xy-ry^2$$ ： $$x^2+y^2-rxy$$  と書き改めることができる。この三角形は $$1$$ と $$z$$ を基底とする斜交座標形式の複素数で表されていることから二辺の成す角は $$\theta~\mathrm{rad}$$ であり、したがって、この比率で作られた三角形は二辺の成す角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である三角形の三辺比といえる。といえる。

初めの操作で狭角が偶数倍になるように回転させた場合も、偶数乘の相似比を想定することになるため この操作で狭角を２倍ではなく一般に偶数倍として回転させた場合でも、相似比は偶数乗を想定することになるため $$|x+yz|=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$ が偶数乗されて根号は外れる。は偶数乗されて根号が外れる。

 \begin{align*}

=&\big[|(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)e^{i(\pi-\theta)}\big|^2\\

\end{align*}

==ガラパゴス比（拡張ピタゴラス数）拡張ピタゴラス数==二辺の成す角 $$θ$$ において $$\cos\theta$$ が有理数値であるような三角形の三辺比は、ガラパゴ三辺比定理を用いると整数比で表すことができる。このような整数比を'''ガラパゴス比'''または'''拡張ピタゴラス比'''、その整数の組を'''ガラパゴス数'''または'''拡張ピタゴラス数'''と呼ぶ。これは直角三角形の三辺を整数比とするピタゴラス数の純粋な拡張となっていることに由来する。

ここで、三角形の二辺の成す角が必ずしも三角形の内角とは限らないことに注意が必要である。三角形としてみた場合、辺の長さが負の値をとると内角と外角が入れ替わる。そのようなケースでは外角が ここで、三角形の二辺の成す角が必ずしも三角形の内角とは限らないことに注意が必要である。三角形としてみた場合、辺の長さが負の値をとると内角と外角が入れ替わり、そのようなケースでは外角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であり、内角は 、内角が $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。