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数学を愛する会Wiki

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ガラパゴ三角関数

609 バイト除去, 2019年9月20日 (金) 00:05
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'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、関数 が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$f(x)=e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
実部を得る関数 $$\e^{N\in\mathbb{Zxz}\}$$:$$=\cos(x,\frac{\theta}{2\pi}z)=+z\begin{cases}e^x&sin(\theta=2N\pi)\\\cosh x&(\theta=(2N+1,z)\pi)\\$$:偏角： $$\displaystyle arg e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{exe^{x\cosi\theta}\sin(}=x\sin\theta)}{\tan\theta}&~(\theta\ne N\pi)\endmathrm{casesrad})$$:絶対値： $$z$$ 部を得る関数 $$|e^{xe^{i\theta}}|=e^{Nx\in\mathbb{Z}cos\theta}$$:$$\sindisplaystyle\cos(x,\frace^{i\theta}{2\pi})=\beginlim_{cases}0&(t\to\theta=2N}\pi)left[e^{x\cos t}\\sinh cos(x&(\theta=(2N+1sin t)\pi)\\\displaystyle -\frac{e^{x\cos\thetat}\sin(x\sin\thetat)}{\sin\thetatan t}&(\theta\ne N\pi)\end{cases}right]$$関係式:$$e^{xz}=\cosdisplaystyle\sin(x,\frace^{i\theta}{2\pi})+z=\sin(x,lim_{t\frac{to\theta}{2\pi})$$:* 偏角： $$left[\arg(frac{e^{xe^{ix\thetacos t}})=x\sin\theta~(x\mathrm{radsin t)})$$:* 絶対値： $$|e^{xe^{i\theta}sin t}|=e^{x\cos\theta}right]$$
標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）
:$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos(\frac{\alpha}{\sin\theta},\frac{\theta}{2\pi})+z\sin(\frac{\alpha}{\sin\theta},\frac{\theta}{2\pi})\right]$$
:* 偏角： $$\alpha$$
:* 絶対値： $$1$$
$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$
:偏角： $$\alpha$$
:絶対値： $$1$$
==導出==
$$+1$$ と $$z=e^{ixz}=\cos\left(x,\frac{\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f{2\pi}\right)+z\sin\left(x)=e^,\frac{\theta}{xz2\pi}\right)$$ を想定する。の両辺を直交座標形式に変換 
左辺
:$$\begin{align*}
e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\
=&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\
=&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\
=&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\
=&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)
\end{align*}$$
'''右辺:$$\begin{align*}&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\=&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\=&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数 $$\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{m\theta}{2\pi}\right)\end{nalign*}$$ の場合'''
$$z=e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}$$ のマクローリン展開より
\begin{align}
e^{xz}
=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}z^k\\
=&\sum_{p=0}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}\quad\color{#f00}{\leftarrow~k=nr+p}\\
=&\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}z^{nr}}_{\color{#f00}{p=0}}+\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^{nr+1}}_{\color{#f00}{p=1}}+\underbrace{\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}}_{\color{#f00}{p\geqq2}}\\
=&\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}+\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^m+\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}(z^m)^p\end{align}
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$(z^m)^p$$ を 実成分と $$z^m$$ 成分に分離
:$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}-\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-2)/2\rfloor}\binom{p-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-2}\right]$$
:$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{p=1}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-1)/2\rfloor}\binom{p-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-1}\right]$$
両辺の実部と虚部を比較し、
$$\fracbegin{malign*}\cos(x,e^{ni\theta})=\fraclim_{1t\to\theta}\left[e^{1x\cos t}$$ のとき:$$\displaystyle\cos\left(x,\sin t)-\frac{1}e^{1x\cos t}\rightsin(x\sin t)=\sum_{r=0}^{\inftytan t}\frac{right]\\\sin(x,e^{ri\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{r!}=e^{x$$:$$\displaystylecos t}\sin\left(x,\frac{1sin t)}{1\sin t}\right)=0]\\\end{align*}$$
==級数展開形==
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{+1}{2}$$ のとき:と $$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{rz=0}e^{i\infty}\frac{x^{2rtheta}}{(2r)!}=\cosh x$$:を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$\displaystyle\sin\leftf(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}e^{\infty}\frac{x^{2r+1xz}}{(2r+1)!}=\sinh x$$を想定する。
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{3}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r}}{(3r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+1}}{(3r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}exp$$関数のマクローリン展開より
:$$\begin{align*}
e^{xz}=&\exp(xz)\\
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(zx)^n}{n!}\\
=&\frac{(zx)^0}{0!}+\frac{(zx)^1}{1!}+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{(zx)^n}{n!}\\
=&1+z+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{x^n}{n!}z^n\\
\end{align*}$$
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{4}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
:$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r}}{(4r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+2}}{(4r+2)!}=\cos x$$
:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+1}}{(4r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+3}}{(4r+3)!}=\sin x$$
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は 実成分と $$z$$ 成分に分離できるため
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$
あるいは漸化式を用いて
:$$\begin{align*}
\cos(x,e^{i\theta})=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\
\sin(x,e^{i\theta})=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\
\end{align*}
\begin{cases}
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(2\cos\theta)A_{k-1}-A_{k-2}
\end{cases}
$$
'''$$\sin\theta\ne0$$ の場合（$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が無理数の場合も含む）'''
$$z=e^{xz2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}1\right)+z=(1-x)e^x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}1\right)=xe^x$$ の両辺を直交座標形式に変換
左辺
\begin{align}
e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\
=&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\
=&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\
=&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\
=&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)
\end{align}
右辺\begin$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{align}&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\thetai}{2\pi}\right)\\=&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{$$ のとき（$$2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{=-2\pi}\right)\\$$）=&:$$\textstyle\left[displaystyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}-1\right)+\cos\theta\sin\left=(1-x,\frac)e^{\theta}{2\pi-x}$$:$$\right)\right]+i\sin\thetadisplaystyle\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}-1\right)\end=xe^{align-x}$$
$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$:$$\displaystyle\sin\thetaleft(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\ne0frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$ であるため、両辺の実部と虚部を比較して
:$$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\tan\theta}$$
:$$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle \frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\sin\theta}$$
$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr+2)!}=\cos x$$
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$
==exps関数を用いた表現==
$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。
 $$\begin{align*}
\mathrm{exps}(x,n,m)
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)\\
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right)
\end{align*}$$  この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$e^{\frac{\theta}{2\pi}}$$ が実数ではないときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。
この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。
\begin{array}{rcrcrcl}&&\textstyle\exp(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{1}{13}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,13,0\right)-\left(x,3,1\right)\\&&\textstyle\cosh(x)&=&\cossin\left(x,e^{\frac{12}{23}\cdot2\pi i}\right)&&&=&-\sin\mathrm{exps}\left(x,2,0e^{\right)frac{1}{3}\cdot2\pi i}\textstyle\sinh(xright)&=&\sinmathrm{exps}\left(x,\frac{3,1}{2}\right)&&&=&\mathrm{exps}-\left(x,3,2,1\right)\\&\\&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{12}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,02\right)-\left(x,3,10\right)\\&&\textstyle\sincos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&-\sin\left(x,\frac{1}{3}\right)&=&\mathrmmathrm{exps}\left(x,3,10\right)-\left(x,3,2\right)&\\&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{21}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,21\right)-\left(x,3,0\right)\\&&\textstyle\cossin\left(x,e^{\frac{21}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&-\mathrm{exps}sin\left(x,3,0e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)-&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\\left(x,3,1\right)\\\\\textstyle\cos(x)&=&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{34}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}cos\left(x,e^{\frac{3,1}{4}\cdot2\pi i}\right)-&=&\mathrm{exps}\left(x,34,0\right)-\left(x,4,2\right)\\&&\textstyle-\sin\left(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{34}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{23}{34}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,34,21\right)-\left(x,4,3,1\right)\\\\\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,02\right)-\left(x,4,20\right)\\\textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,13\right)-\left(x,4,31\right)&\\\\&&\textstyle-\cos\left(x)&=&-\cos\left(x,,e^{\frac{1}{46}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{34}{46}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,46,20\right)-+\left(x,46,01\right)-\\\textstyle\sinleft(x,6,3\right)&=&\sin-\left(x,\frac{1}{6,4}\right)\\&=&\textstyle-\sin\left(x,e^{\frac{31}{46}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}sin\left(x,e^{\frac{4,3}{6}\cdot2\pi i}\right)-&=&\mathrm{exps}\left(x,46,1\right)&\\\\&&\textstyle\cos+\left(x,\frac{1}{6},2\right)&=&\cos-\left(x,\frac{6,4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}-\left(x,6,05\right)+\\&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6,1}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6,3}\cdot2\pi i}\right)-&=&\mathrm{exps}\left(x,6,42\right)\\&&\textstyle-\sin+\left(x,\frac{1}{6},3\right)&=&\sin-\left(x,\frac{4}{6}6,5\right)&=&\mathrm{exps}-\left(x,6,10\right)+\left(x,6,2\right)&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{6,4}\cdot2\pi i}\right)-\left(x,6,5\right)\\&&\textstyle=&-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{54}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,23\right)+\left(x,6,34\right)-\left(x,6,50\right)-\left(x,6,01\right)\\&&\textstyle-\cossin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cossin\left(x,e^{\frac{42}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,34\right)+\left(x,6,45\right)-\left(x,6,01\right)-\left(x,6,12\right)\\&&\textstyle\sincos\left(x,e^{\frac{12}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sincos\left(x,e^{\frac{24}{6}\right)&=&cdot2\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\left(x,6,5\right)-\left(x,6,1\right)-\left(x,6,2\right)\\&&\textstyle\cos\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\left(x,6,0\right)-\left(x,6,2\right)-\left(x,6,3\right)\\
\end{array}
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