差分

'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。

$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$:偏角： $$\arg z=\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$[[ファイル:絶対値： $$ガラパゴ三角関数の幾何イメージ.png |z480px|=center|e^{xe^{i\theta}}border|=e^{x\cos\theta}$$:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\rightガラパゴ三角関数の幾何イメージ]$$:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$

標準化（==概要==ガラパゴ三角関数 $$\theta\ne N\picos_zx$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}sin_zx$$）は、次のように表される。

 :$$\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}z\right)^n=e^{ixz}=\cos_zx+z\sin_zx\\&\quad\alphabegin{cases}z=e^{-i\theta}\\\displaystyle\alphacos_zx=\cotlim_{t\to\theta}\left[e^{x\cost}\leftcos(x\sin t)-\frac{e^{x\alphacos t}{\sin(x\thetasin t)},e^{i\thetatan t}\right)+z]\\sin\left(displaystyle\frac{sin_zx=\alpha}lim_{t\sinto\theta},\left[\frac{e^{ix\thetacos t}\rightsin(x\sin t)}{\sin t}\right]\end{cases}\end{align*}$$:偏角：  この式は  $$\arg ebegin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{in}\alphaend{pmatrix}=\alphabegin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$より得られる数列  :絶対値： $$|e^\begin{icases}S_0=0\\S_1=1\\alphaS_{n}|=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})\end{cases}$$

__TOC__を用いると、級数展開形にて書き改めることができる。  :$$\begin{align*}e^{xz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{C_{k}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\\end{align*}$$  ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。  $$z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$、すなわち $$e^{xz}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta+ix\sin\theta}$$ であることから、 $$e^{xz}$$ の偏角は $$\arg e^{xz}=x\sin\theta$$、絶対値は $$|e^{xz}|=e^{x\cos\theta}$$ であることがわかる。  $$\{\theta\ne N\pi\mid N\in\mathbb{Z}\}$$ においては $$|e^{xz}|=1$$ へ標準化することで直交座標系との関係性が次のように示される。 $$\begin{cases}\alpha=\arg e^{xz}=x\sin\theta\\\begin{align*}e^{i\alpha}=&\cos\alpha+i\sin\alpha\\=&e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos_z\frac{\alpha}{\sin\theta}+z\sin_z\frac{\alpha}{\sin\theta}\right]\end{align*}\end{cases}$$ 

$$e^{xz}z=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,$$ において、 $$e^{ixz}=\theta}cos_zx+z\right)sin_zx$$ の両辺を直交座標形式に変換

&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\\=&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\\=&\left[\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\right]+i\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx

:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx$$:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx$$

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\

 :$$\begin{align*}displaystyle e^{xz}=&\exp(xz)\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\=&\fracsum_{(xz)^n=0}^{0!\infty}+\frac{(xz)z^1n}{1n!}+x^n$$  [[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]] $$\sum_displaystyle G_n=\frac{z^n=2-\overline{z}^{~n}}{z-1}\fracoverline{(xz)^nz}{n!}\\=&1+z+\sum_{nk=20}^\infty z^{n-2k-1}\frac{x$$ を用いて  :$$z^n}= G_nz-G_{n!}z^n\\\end{align*-1}$$

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_G_{k-1}x^k}{k!}\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_G_{k}x^k}{k!}\\

$$z=\mathrm{P}=e^{2\pi i}=1$$ のとき（のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)cos_zx=(1-x)e^x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)sin_zx=xe^x$$

$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac12=e^{\frac{1}{2}\cdotp2\pi i}{=-1$$（$$1$$ の原始 $$2}}$$ のとき（乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)cos_zx=(1+x)e^{-x}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)sin_zx=xe^{-x}$$

$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac13=e^{\frac{21}{3}\cdotp2\pi i}{$$（$$1$$ の原始 $$3}}$$ のとき（乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-1$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$

$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac14=e^{\frac{21}{4}\cdotp2\pi i}{3}}$$ のとき（（$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=0$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr4k+2)!}=\cos x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$ 

$$\mathrm{exp}_s$$ 関数をマクローリン展開した各項より、関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。 $$\displaystyle\exp_s(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{ks}}{(ks)!}\right)$$ の指数が [  この関数は $$n\exp$$ の倍数－関数をマクローリン展開した各項のうち、$$mx$$] 以外の係数を の指数が $$0s$$ とした関数を の倍数である項のみによって構成される関数であり、$$\mathrm{exps}(x,n,m)s$$ とする。階微分することで元の関数と一致する（'''周階導関数'''）。 

\mathrm{exps}(x,n,m)=&\left(\sum_{k=0exp}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~_s(mx)~は~m~階微分の意}\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left[\left(e^{\frac{m}{ns}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{ns}}\right)^kx}\right]\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{ns}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{ns}i\right)x\right)\right]

ガラパゴ三角関数は第２引数 $$z=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{i\thetafrac{2\pi}5i}$$ が実数ではなく、かつ、の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\thetasqrt5-1}2$$）\begin{array}{c}+\cos_zx &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,-\phi',+\phi']\\-\sin_zx &=& +\exp_5^{(1)}x-\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x &\pileftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\-(\sin_zx)' &=& +\exp_5^{(2)}x-\exp_5^{(5)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~~0~~]\\-(\sin_zx)'' &=& +\exp_5^{(3)}x-\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(5)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\\-(\sin_zx)''' &=& +\exp_5^{(4)}x-\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\\\-\cos_zx &=& -\exp_5^{(0)}x+\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x-\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\+\sin_zx &=& -\exp_5^{(1)}x+\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\phi',-1~]\\+(\sin_zx)' &=& -\exp_5^{(2)}x+\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\\+(\sin_zx)'' &=& -\exp_5^{(3)}x+\exp_5^{(1)}x+\phi'\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[+\phi',-\phi',-1~,~~0~~,+1~]\\+(\sin_zx)''' &=& -\exp_5^{(4)}x+\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x &\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\\\end{array}$$ が有理数のときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。

$$z=\begin{array}mathrm{rcrcrclP}&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi ifrac16}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&6i}=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}3i}$$ の場合\right)&=&\mathrmbegin{expsarray}\left(x,3,1\right)-\mathrm{expsc}\left(x,3,2\right)&\\&&\textstyle-+\cos\left(x,e^cos_{\frac{2z}{3}\cdot2\pi i}\right)&&x &=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,2\right0)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\&&\textstyle\cos-\left(x,eexp_6^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right(4)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,2\right)}x+\\&&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{(1)}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[+1,3~~0~,-1\right),-\mathrm{exps}\left(x1,3~~0~,0\right)+1]\\&&-\textstyle\sin\left(x,e^sin_{\frac{1z}{3}\cdot2\pi i}\right)x &=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right(1)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,1\right5)\\\\\textstyle\cos(}x)&=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0+\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,4,2\right)\\\textstyle-\sin(}x)&=&-\sin\left(xleftarrow[~~0~,e^{\frac{-1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x-1,4~~0~,+1\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)+1]\\\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^sin_{\frac{1z}{4}\cdot2\pi i}\rightx)' &=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right(2)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,4,0\right)\\\textstyle\sin(}x)&=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{1}{4(5)}x+\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{(3)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,4-1,3\right)-\mathrm{exps}\left(x~~0~,4+1,+1\right)&,~~0~]\\\\&&-\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}cos_{6z}\cdot2\pi i}\right)x &=&\cos\left(x,eexp_6^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right(3)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0-\right)+\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,1\right)}x-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,3\right0)-\mathrm{exps}\left(x,6,4+\right)\\&&\textstyle-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{4)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,6~~0~,+1\right),+\mathrm{exps}\left(x1,6~~0~,2\right)-1]\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)-+\mathrmsin_{expsz}\left(x,6,5\right)\\&=&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2(4)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&x-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,5\right1)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)\\&&\textstyle-+\cos\left(x,eexp_6^{\frac{1}{6(5)}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(xleftarrow[~~0~,6+1,3\right)+\mathrm{exps}\left(x1,6~~0~,4\right)-\mathrm{exps}\left(x1,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)]\\&&\textstyle\sin\left+(x,e^{\fracsin_{1z}{6}\cdot2\pi i}\rightx)' &=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right(5)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4-\right)+\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,5\right3)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,2\right)}x+\\&&\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right0)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5&\right)leftarrow[+\mathrm{exps}\left(x1,6+1,~~0\right)~,-\mathrm{exps}\left(x1,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x1,6,3\right)~~0~]\\