差分

'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。

$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$[[ファイル:偏角： $$\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$:絶対値： $$ガラパゴ三角関数の幾何イメージ.png |480px|center|e^{xe^{i\theta}}border|=e^{x\cos\theta}$$:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\rightガラパゴ三角関数の幾何イメージ]$$:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$

標準化（==概要==ガラパゴ三角関数 $$\cos_zx$$、$$\sin_zx$$ は、次のように表される。  :$$\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}z\right)^n=e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx\\&\quad\begin{cases}z=e^{i\theta}\\\displaystyle\cos_zx=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\\displaystyle\sin_zx=\lim_{t\to\theta}\ne Nleft[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\end{cases}\end{align*}$$  この式は  $$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列  $$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})\end{cases}$$  を用いると、級数展開形にて書き改めることができる。  :$$\begin{align*}e^{xz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{C_{k}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\\end{align*}$$  ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。  $$z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$、すなわち $$e^{xz}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta+ix\sin\theta}$$ であることから、 $$e^{xz}$$ の偏角は $$\arg e^{xz}=x\sin\theta$$、絶対値は $$|e^{xz}|=e^{x\cos\pitheta}$$、であることがわかる。  $$\{\theta\ne N\pi\mid N\in\mathbb{Z}\}$$）においては $$|e^{xz}|=1$$ へ標準化することで直交座標系との関係性が次のように示される。 $$\begin{cases}\alpha=\arg e^{xz}=x\sin\theta\\\begin{align*}e^{i\alpha}=&\cos\alpha+i\sin\alpha\\=&e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos_z\frac{\alpha}{\sin\theta}+z\sin_z\frac{\alpha}{\sin\theta}\right]\end{align*}\end{cases}$$

$$z=e^{xz}=\cos\left(x,\frac{i\theta}$$ において、 $$e^{2\pixz}=\right)cos_zx+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)sin_zx$$ の両辺を直交座標形式に変換

&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)cos_zx+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)sin_zx\\=&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)sin_zx\\=&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)cos_zx+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)sin_zx\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)sin_zx

両辺の実部と虚部を比較し、両辺の実部と虚部をそれぞれ比較:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos_zx+\cos\theta\sin_zx$$:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin_zx$$  $$\theta$$ が $$\pi$$ の整数倍の場合、 $$1$$ と $$e^{i\theta}$$ は線形従属となってしまうため、$$\theta$$ を $$t$$ とおいて $$t\to\theta$$ の極限として考える

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\

 :$$\begin{align*}displaystyle e^{xz}=&\exp(xz)\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(zxxz)^n}{n!}\\=&\fracsum_{(zx)^n=0}^{0!\infty}+\frac{(zx)z^1n}{1n!}+x^n$$  [[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]] $$\sum_displaystyle G_n=\frac{z^n=2-\overline{z}^{~n}}{z-1}\fracoverline{(zx)^nz}{n!}\\=&1+z+\sum_{nk=20}^\infty z^{n-2k-1}\frac{x$$ を用いて  :$$z^n}= G_nz-G_{n!}z^n\\\end{align*-1}$$

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_G_{k-1}x^k}{k!}\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_G_{k}x^k}{k!}\\

$$z=\mathrm{P}=e^{2\pi i}=1$$ のとき（のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)cos_zx=(1-x)e^x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)sin_zx=xe^x$$

$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac12=e^{\frac{1}{2}\cdotp2\pi i}{=-1$$（$$1$$ の原始 $$2}}$$ のとき（乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)cos_zx=(1-+x)e^{-x}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)sin_zx=xe^{-x}$$

$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac13=e^{\frac{21}{3}\cdotp2\pi i}{$$（$$1$$ の原始 $$3}}$$ のとき（乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-1$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$

$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=\mathrm{P}^\frac14=e^{\frac{21}{4}\cdotp2\pi i}{3}}$$ のとき（（$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=0$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr4k+2)!}=\cos x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$ 

$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{expsexp}(x,n,m)_s$$ とする。関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。

\mathrm{exps}(x,n,m)=&\left(\sum_{k=0exp}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~_s(mx)~は~m~階微分の意}\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left([\left(e^{\frac{m}{ns}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{ns}}\right)^kx}\right)]\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left([\exp\left(\frac{2km\pi}{ns}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{ns}i\right)x\right)\right)]

この関数は $$nz=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{\frac{2\pi}5i}$$ の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\sqrt5-1}2$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（$）\begin{array}{c}+\cos_zx &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,-\phi'周階原始関数,+\phi']\\-\sin_zx &=& +\exp_5^{(1)}x-\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x+\phi'）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$e\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\-(\sin_zx)' &=& +\exp_5^{(2)}x-\exp_5^{(5)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~~0~~]\\-(\sin_zx)'' &=& +\exp_5^{(3)}x-\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(5)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\\-(\sin_zx)''' &=& +\exp_5^{(4)}x-\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\\\-\cos_zx &=& -\exp_5^{(0)}x+\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x-\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\+\sin_zx &=& -\exp_5^{(1)}x+\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\phi',-1~]\\+(\sin_zx)' &=& -\exp_5^{(2)}x+\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\\+(\sin_zx)'' &=& -\exp_5^{(3)}x+\exp_5^{(1)}x+\phi'\exp_5^{(0)}x-\fracphi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[+\thetaphi',-\phi',-1~,~~0~~,+1~]\\+(\sin_zx)''' &=& -\exp_5^{(4)}x+\exp_5^{(2)}x+\piphi'\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x &\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\\\end{array}$$ が実数ではないときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。

$$z=\begin{array}mathrm{rcrcrclP}&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1frac16}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,1\right)\\&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&6i}=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps3i}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,2\right)&\\$$ の場合&&\textstyle-\cos\left(x,e^begin{\frac{2array}{3c}+\cdot2\pi icos_{z}\right)&&x &=&\mathrmexp_6^{exps(0)}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,0\right)\\&&\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right(4)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\leftexp_6^{(x,3,2\right)}x+\\&&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{(1)}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[+1,3~~0~,-1\right),-\left(x1,3~~0~,0\right)+1]\\&&\textstyle\sin\left(x,e^{-\fracsin_{1z}{3}\cdot2\pi i}\right)x &=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right(1)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\leftexp_6^{(x,3,1\right5)\\\\\textstyle\cos(}x)&=&\cos-\left(x,eexp_6^{\frac{1}{(4)}x+\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,eexp_6^{\frac{3(2)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[~~0~,-1,4-1,~~0\right)-\left(x~,4+1,2\right)+1]\\\textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^sin_{\frac{1z}{4}\cdot2\pi i}\rightx)' &=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right(2)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\leftexp_6^{(x,4,3\right0)\\\textstyle-\cos(}x)&=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{1(5)}{4}\cdot2x+\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{(3)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,-1,4~~0~,2\right)-\left(x+1,4+1,~~0\right)~]\\\textstyle\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^cos_{\frac{1z}{4}\cdot2\pi i}\right)x &=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{(3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\leftexp_6^{(x,4,1\right)&\\\\&&}x-\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i(0)}x+\right)&=&\cos\left(x,eexp_6^{\frac{(4)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,6~~0~,0\right)+\left(x,61,+1\right)-\left(x,6~~0~,3\right)-\left(x,6,4\right)1]\\&&\textstyle-\sin\left(x,e^{+\fracsin_{1z}{6}\cdot2\pi i}\right)x &=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{(4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1-\right)+\leftexp_6^{(x,6,2\right)-\left(}x,6,4\right)-\left(x,6,5\right)\\&&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right1)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\leftexp_6^{(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(}x,6,0\right)\\&&\textstyle-\cos\left(xleftarrow[~~0~,e^{\frac{+1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x1,6~~0~,4\right)-\left(x1,6,0\right)-\left(x,6,1\right)]\\&&\textstyle\sin\left+(x,e^{\fracsin_{1z}{6}\cdot2\pi i}\rightx)' &=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right(5)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4-\right)+\leftexp_6^{(x,6,5\right3)-\left(}x,6,1\right)-\leftexp_6^{(x,6,2\right)}x+\\&&\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right0)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5&\right)leftarrow[+\left(x1,6+1,~~0\right)~,-\left(x1,6,2\right)-\left(x1,6,3\right)~~0~]\\