差分

'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、関数 が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$f(x)=e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。

実部を得る関数（[[ファイル:ガラパゴ三角関数の幾何イメージ.png |480px|center|border|ガラパゴ三角関数の幾何イメージ]]  ==概要==ガラパゴ三角関数 $$N\incos_zx$$、$$\mathbb{Z}sin_zx$$）は、次のように表される。  :$$\cosbegin{align*}&\lim_{n\to\infty}\left(x,1+\frac{\thetax}{2n}z\piright)^n=e^{xz})=\cos_zx+z\sin_zx\\&\quad\begin{cases}z=e^x&({i\theta=2N\pi)}\\\cosh x&(displaystyle\thetacos_zx=(2N+1)\pi)lim_{t\to\theta}\displaystyle left[e^{x\cos\thetat}\cos(x\sin\thetat)-\frac{e^{x\cos\thetat}\sin(x\sin\thetat)}{\tan\thetat}&(\thetaright]\ne N\pi)\end{cases}$$$$z$$ 部を得る関数（$$Ndisplaystyle\insin_zx=\mathbblim_{Z}$$）:$$t\sin(x,\frac{to\theta}{2\pi})=\begin{cases}0&(\theta=2N\pi)\\\sinh x&(\theta=(2N+1)\pi)\\\displaystyle left[\frac{e^{x\cos\thetat}\sin(x\sin\thetat)}{\sin\thetat}&(\theta\ne N\pi)right]\end{cases}$$関係式:$$e^{xz}=\cos(x,\frac{\theta}end{2\pialign*})+z\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$:$$e^{xz}=e^{xe^{i\theta}}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}$$ より、この関数の示す値は::偏角： $$\arg(e^{xz})=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$::絶対値： $$|e^{xz}|=e^{x\cos\theta}$$この式は:である。

:$$\fracbegin{malign*}e^{nxz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{1C_{k}x^k}{1k!}$$ のとき:$$\displaystyle\cosright)+z\left(x,\sum_{k=0}^\infty\frac{1S_{k}x^k}{1k!}\right)\\=&\left(-\sum_{rk=0}^{\infty}\frac{S_{k-1}x^{r}k}{rk!}=e^x$$:$$\displaystyle\sinright)+z\left(x,\sum_{k=0}^\infty\frac{1S_{k}x^k}{1k!}\right)=0\\\end{align*}$$

ちなみにこの数列 $$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{2}S_n$$ のとき:は $$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r}}{(2r)!}=\cosh x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r+1}}{(2r+1)!}=\sinh xz$$を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。

$$z=e^{i\frac{m}{ntheta}=\pmcos\frac{1}{3}$$ のとき（$$2theta+i\cossin\theta=-1$$）:、すなわち $$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}e^{3xz}\right)=\sum_{r=0}e^{\infty}\frac{x^{3r}}{(3r)!}-\sum_{r=0}^{cos\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3rtheta+2)!}$$:$$\displaystylei\sin\left(x,\pm\frac{1}{3theta)}\right)=\sum_{r=0}e^{x\infty}cos\frac{x^{3r+1}}{(3rtheta+1)!}-ix\sum_{r=0}^{sin\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!theta}$$であることから、

'''==導出==$$\sinz=e^{i\theta\ne0}$$ の場合（において、 $$\frace^{xz}=\theta}{2cos_zx+z\pi}sin_zx$$ が無理数の場合も含む）'''の両辺を直交座標形式に変換

:$$\begin{align*}

\end{align*}$$

:$$\begin{align*}&\textstylecos_zx+z\sin_zx\\=&\cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin_zx\\=&\left(x,[\cos_zx+\frac{cos\theta}{2\pi}sin_zx\right)]+zi\sin\left(x,theta\sin_zx\fracend{\thetaalign*}$$  両辺の実部と虚部をそれぞれ比較:$$e^{2x\cos\pitheta}\right)cos(x\sin\theta)=&\textstylecos_zx+\cos\left(theta\sin_zx$$:$$e^{x,\frac{cos\theta}{2\pi}sin(x\sin\righttheta)+(=\sin\theta\cossin_zx$$  $$\theta+$$ が $$\pi$$ の整数倍の場合、 $$1$$ と $$e^{i\sintheta}$$ は線形従属となってしまうため、$$\theta$$ を $$t$$ とおいて $$t\to\theta)$$ の極限として考える $$\begin{align*}\cos_zx&=\lim_{t\to\sintheta}\left[e^{x\cos t}\cos(x,\sin t)-\frac{e^{x\thetacos t}\sin(x\sin t)}{2\pitan t}\right)]\\\sin_zx&=&\textstylelim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cost}\leftsin(x,\fracsin t)}{\sin t}\right]\\\end{align*}$$  ==級数展開形== $$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{2xz}$$ を想定する。  $$\exp$$関数のマクローリン展開より  :$$\pidisplaystyle e^{xz}=\rightexp(xz)+=\sum_{n=0}^{\infty}\cosfrac{(xz)^n}{n!}=\thetasum_{n=0}^{\sininfty}\left(frac{z^n}{n!}x,^n$$  [[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]] $$\displaystyle G_n=\frac{z^n-\thetaoverline{z}^{~n}}{2z-\overline{z}}=\pisum_{k=0}^\right)infty z^{n-2k-1}$$ を用いて  :$$z^n = G_nz-G_{n-1}$$  と表せるため、  :$$\right]+ibegin{align*}\sincos_zx=&-\thetasum_{k=0}^\sininfty\left(frac{G_{k-1}x,^k}{k!}\\\sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k}x^k}{k!}\theta\\end{align*}$$  $$z=\mathrm{P}=e^{2\pii}=1$$ のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$:$$\rightdisplaystyle\cos_zx=(1-x)e^x$$:$$\end{align}displaystyle\sin_zx=xe^x$$ 

:$$z=\cos(x,mathrm{P}^\frac13=e^{\frac{\theta1}{23}\cdotp2\pii})$$（$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-1$$:$$\displaystyle e\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\cossum_{k=0}^{\thetainfty}\cosfrac{x^{3k+2}}{(x3k+2)!}$$:$$\displaystyle\sin_zx=\sum_{k=0}^{\sininfty}\thetafrac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\fracsum_{ek=0}^{x\cosinfty}\thetafrac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$  $$z=\sin(xmathrm{P}^\sinfrac14=e^{\theta)frac{1}{4}\cdotp2\pi i}$$（$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根）のとき $$\tanrightarrow~2\cos\theta}=0$$:$$\sindisplaystyle\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(x,4k)!}-\fracsum_{k=0}^{\thetainfty}\frac{x^{4k+2\pi}}{(4k+2)!}=\cos x$$:$$\displaystyle \sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{ex^{x4k+1}}{(4k+1)!}-\cossum_{k=0}^{\thetainfty}\sinfrac{x^{4k+3}}{(x\sin\theta4k+3)!}{=\sin\theta}x$$

$$\mathrm{exp}_s$$ 関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。 $$\displaystyle\exp_s(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{ks}}{(ks)!}\right)$$  この関数は $$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、関数をマクローリン展開した各項のうち、$$x$$ の指数が [$$ns$$ の倍数である項のみによって構成される関数であり、$$s$$ の倍数－階微分することで元の関数と一致する（'''周階導関数'''）。  この関数を $$m$$階微分すると $$\begin{align*}\mathrm{exp}^{(m)}_s(x)=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\left(e^{\frac{m}{s}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{s}}\right)^kx}\right]\\=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{s}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{s}i\right)x\right)\right] 以外の係数を \end{align*}$$ と表されるが、マクローリン展開形を考えれば単に各項の次数が落ちるだけと見ることができる。 すなわち、$$m=0$$ とした関数を から $$m=s-1$$ までの $$s$$ 種類の関数を標準基底の元とすることで、あらゆる $$s$$ 階の周階導関数を構成可能である。  ガラパゴ三角関数は $$z=e^{i\theta}$$ が実数ではなく、かつ、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階導関数となるため、$$\mathrm{exp}_s$$ 関数の $$m$$ 階導関数を用いて以下のように示すことが可能である。  $$z=\mathrm{expsP}^{\frac13}=e^{\frac{2\pi}3i}$$ の場合\begin{array}{c}+\cos_{z}x &=& \exp_3^{(0)}x-\exp_3^{(1)}x&\leftarrow[+1,n~~0~,m-1]\\-\sin_{z}x &=& \exp_3^{(1)}x-\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,+1]\\-(\sin_{z}x)' &=& \exp_3^{(2)}x-\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[-1,+1,~~0~]\\\\-\cos_{z}x &=& -\exp_3^{(0)}x+\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1]\\+\sin_{z}x &=& -\exp_3^{(1)}x+\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,+1,-1]\\+(\sin_{z}x)' &=& -\exp_3^{(2)}x+\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[+1,-1,~~0~]\\\end{array}  $$ とする。z=\mathrm{P}^{\frac14}=e^{\frac{2\pi}4i}=e^{\frac{\pi}2i}$$ の場合\begin{array}{c}+\cos x &=& +\cos_zx &=& \exp_4^{(0)}x-\exp_4^{(2)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,~~0~]\\-\sin x &=& -\sin_zx &=& \exp_4^{(1)}x-\exp_4^{(3)}x &\leftarrow[~~0~,-1,~~0~,+1]\\-\cos x &=& -\cos_zx &=& \exp_4^{(2)}x-\exp_4^{(0)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,~~0~]\\+\sin x &=& +\sin_zx &=& \exp_4^{(3)}x-\exp_4^{(1)}x &\leftarrow[~~0~,+1,~~0~,-1]\\\end{array}  

$$z=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{\frac{2\pi}5i}$$ の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\sqrt5-1}2$$）\begin{alignarray}{c}+\cos_zx &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_5^{(3)}x-\phi'\mathrmexp_5^{exps(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x&\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,n-\phi',m)+\phi']\\-\sin_zx &=&+\leftexp_5^{(1)}x-\sum_exp_5^{k=0(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x+\inftyphi'\fracexp_5^{(2)}x&\leftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\-(\sin_zx)' &=& +\exp_5^{kn}(2)}x-\exp_5^{(kn5)!}x-\right)phi'\exp_5^{(m4)}x+\quadphi'\colorexp_5^{#f00(3)}{x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~(m)~は0~m~階微分の意}]\\-(\sin_zx)'' &=&+\fracexp_5^{1(3)}x-\exp_5^{n(0)}x-\phi'\sum_exp_5^{k=0(5)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\infty\left-(\leftsin_zx)''' &=& +\exp_5^{(e4)}x-\exp_5^{(1)}x-\phi'\fracexp_5^{m(0)}x+\phi'\exp_5^{n(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\\cdot2\pi i}-\cos_zx &=& -\right)^keexp_5^{(0)}x+\left(eexp_5^{(3)}x+\phi'\fracexp_5^{(2)}x-\pi iphi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\+\sin_zx &=& -\exp_5^{n(1)}x+\exp_5^{(4)}x+\phi'\rightexp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^kx{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\right)phi',-1~]\\+(\sin_zx)' &=&-\fracexp_5^{1(2)}x+\exp_5^{n(0)}x+\sum_phi'\exp_5^{k=0(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\infty\left+(\expsin_zx)'' &=& -\leftexp_5^{(3)}x+\fracexp_5^{2km(1)}x+\phi'\piexp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{n(4)}ix &\leftarrow[+\expphi',-\leftphi',-1~,~~0~~,+1~]\\+(\fracsin_zx)''' &=& -\exp_5^{2k(4)}x+\piexp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{n(1)}ix-\phi'\rightexp_5^{(0)}x&\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\right)\right)\end{alignarray}

$$z=\beginmathrm{arrayP}^{rcrcrcl\frac16}\textstyle\exp(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{12\pi}{16i}\right)&&&=&\mathrme^{exps}\left(x,1,0\right)\\\\\textstyle\cosh(x)&=&\cos\left(x,\frac{1\pi}{23i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,2,0\right)\\$$ の場合\textstyle\sinh(x)&=&\sin\left(x,\fracbegin{1array}{2c}+\right)&&&=&\mathrmcos_{expsz}\left(x,2,1\right)\\\\&&\textstyle\cos\left(x,\frac{1}{3}\right)&&&=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,0\right)}x-\leftexp_6^{(x,3,1\right4)\\&&\textstyle\sin\left(}x,-\frac{2}exp_6^{(3)}\right)&=&-\sin\left(x,+\fracexp_6^{(1)}{3}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[+1,3~~0~,-1\right),-\left(x1,3~~0~,2\right)&+1]\\&&\textstyle-\cos\left(x,\fracsin_{2z}{3}\right)&&x &=&\mathrmexp_6^{exps(1)}\left(x,3,2\right)-\leftexp_6^{(x,3,0\right5)\\&&\textstyle\cos\left(}x,-\fracexp_6^{2}{3}\right(4)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0+\right)-\leftexp_6^{(x,3,2\right)\\&}x &\textstyleleftarrow[~~0~,-\cos\left(x1,\frac{-1}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3~~0~,+1\right)-\left(x,3,0\right)+1]\\&&\textstyle\sin\left-(x,\frac{1}sin_{3z}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{2}{3}\right)' &=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,1\right)\\\\\textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,4,0\right)-\left(}x,4,2\right)\\\textstyle-\sinexp_6^{(x5)&=&-\sin\left(}x,+\fracexp_6^{1}{4}\right)&=&\sin\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1&\right)leftarrow[-\left(x1,4,3\right)\\\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x~~0~,4+1,2\right)-\left(x,4+1,~~0\right)~]\\\textstyle\sin(x)&=&\sin-\left(x,\fraccos_{1z}{4}\right)x &=&-\sin\leftexp_6^{(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\leftexp_6^{(x,4,1\right)&\\\\&&\textstyle\cos\left(}x,-\fracexp_6^{1(0)}{6}\right)&=&\cos\left(x,+\fracexp_6^{(4)}{6}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,6~~0~,0\right)+\left(x,61,+1\right)-\left(x,6~~0~,3\right)-\left(x,6,4\right)1]\\&&\textstyle-+\sin\left(x,\fracsin_{1z}{6}\right)x &=&\sin\leftexp_6^{(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1-\right)+\leftexp_6^{(x,6,2\right)-\left(x,6,4\right)-\left(}x,6,5\right)\\&&\textstyle-\cos\left(x,\fracexp_6^{2}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{5}{6}\right1)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\leftexp_6^{(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(}x,6,0\right)\\&&\textstyle-\cos\left(xleftarrow[~~0~,\frac{+1}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x1,6~~0~,4\right)-\left(x,61,0\right)-\left(x,6,1\right)]\\&&\textstyle\sin\left+(x,\frac{1}sin_{6z}\right)&=&\sin\left(x,\frac{2}{6}\right)' &=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,4\right5)+\left(}x,6,5\right)-\leftexp_6^{(3)}x,6,1\right)-\leftexp_6^{(x,6,2\right)\\&&\textstyle\cos\left(}x,+\fracexp_6^{2}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6}\right0)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5&\right)leftarrow[+\left(x1,6+1,~~0\right)~,-\left(x1,6,2\right)-\left(x1,6,3\right)~~0~]\\