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ガラパゴ三角関数

697 バイト除去, 2021年4月6日 (火) 00:42
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'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
==概要==
ガラパゴ三角関数 $$\cos_zx$$、$$\sin_zx$$ は、次のように表される。
 
:$$\begin{align*}
この式は次の数式によって得られる数列この式は
 $$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n\\~または~$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列~すなわち~ $$\begin{cases}
S_0=0\\
S_1=1\\
S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})(2\cos\theta)
\end{cases}$$
を用いると、級数展開型にて書き改めることができる。を用いると、級数展開形にて書き改めることができる。 
:$$\begin{align*}
=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\
\end{align*}$$
 
 
ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。
$$\exp$$関数のマクローリン展開より
 :$$\begin{align*}displaystyle e^{xz}=&\exp(xz)\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\=&\fracsum_{(xz)^n=0}^{0!\infty}+\frac{(xz)z^1n}{1n!}+x^n$$  [[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]] $$\sum_{ndisplaystyle G_n=2}^\infty\frac{(xz)z^n-\overline{z}^{~n!}}{z-\\overline{z}}=&1+xz+\sum_{nk=20}^\infty\frac{xz^n}{n!-2k-1}$$ を用いて  :$$z^n\\\end= G_nz-G_{align*n-1}$$
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は $$+1$$ 成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため:$$\displaystyle\cos_zx=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$:$$\displaystyle\sin_zx=x+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$と表せるため、
あるいは数列を用いて
:$$\begin{align*}
\cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_G_{k-1}x^k}{k!}\\\sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{S_G_{k}x^k}{k!}\\
\end{align*}
\begin{cases}
S_0=0\\
S_1=1\\
S_{k}=-(S_{k-2})+(S_{k-1})(2\cos\theta)
\end{cases}
$$
$$\begin{align*}
\mathrm{expsexp}^{(m)}_s(x)=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left[\left(e^{\frac{m}{s}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{s}}\right)^kx}\right]\\=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^\infty{s-1}\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{s}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{s}i\right)x\right)\right]
\end{align*}$$
$$z=\mathrm{P}^{\frac13}=e^{\frac{2\pi}3i}$$ の場合
\begin{array}{c}
+\cos_{z}x && &=& \exp_3^{(0)}x-\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1]\\-\sin_{z}x &=& +\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_3^{(1)}x-\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,+1]\\ && -(\cos_sin_{z^{-1}}x )' &=& \exp_3^{(2)}x-\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[-1,+1,~~0~]\\
\\
-\cos_{z}x && &=& -\exp_3^{(0)}x+\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1]\\+\sin_{z}x &=& -\sin_{z^{-1}}x &=& -\exp_3^{(1)}x+\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,+1,-1]\\ && +(\cos_sin_{z^{-1}}x )' &=& -\exp_3^{(2)}x+\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[+1,-1,~~0~]\\
\end{array}
$$z=\mathrm{P}^{\frac14}=e^{\frac{2\pi}4i}=e^{\frac{\pi}2i}$$ の場合
\begin{array}{c}
+\cos x &=& +\cos_zx &=& +\cos_{z^{-1}}x &=& \exp_4^{(0)}x-\exp_4^{(2)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,~~0~]\\-\sin x &=& -\sin_zx &=& +\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_4^{(1)}x-\exp_4^{(3)}x &\leftarrow[~~0~,-1,~~0~,+1]\\-\cos x &=& -\cos_zx &=& -\cos_{z^{-1}}x &=& \exp_4^{(2)}x-\exp_4^{(0)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,~~0~]\\+\sin x &=& +\sin_zx &=& -\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_4^{(3)}x-\exp_4^{(1)}x &\leftarrow[~~0~,+1,~~0~,-1]\\
\end{array}
$$z=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{\frac{2\pi}5i}$$ の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\sqrt5-1}2$$）
\begin{array}{c}
+\cos_zx && &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_4exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(1)}x &\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,-\phi',+\phi']\\-\sin_zx &=& +\sin_{z^{-1}}x &=& +\exp_5^{(1)}x-\exp_4exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\ && -(\cos_{z^{-1}}x sin_zx)' &=& +\exp_5^{(2)}x-\exp_4exp_5^{(5)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(3)}x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~~0~~]\\ && -(+\sin_{z^{-1}}xsin_zx)'' &=& +\exp_5^{(3)}x-\exp_4exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(5)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\\ && -(-\cos_{z^{-1}}xsin_zx)''' &=& +\exp_5^{(4)}x-\exp_4exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\
\\
-\cos_zx && &=& -\exp_5^{(0)}x+\exp_4exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(2)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\+\sin_zx &=& -\sin_{z^{-1}}x &=& -\exp_5^{(1)}x+\exp_4exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\phi',-1~]\\ && +(\cos_{z^{-1}}x sin_zx)' &=& -\exp_5^{(2)}x+\exp_4exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\\ && +(-\sin_{z^{-1}}xsin_zx)'' &=& -\exp_5^{(3)}x+\exp_4exp_5^{(1)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(4)}x &\leftarrow[+\phi',-\phi',-1~,~~0~~,+1~]\\ && +(+\cos_{z^{-1}}xsin_zx)''' &=& -\exp_5^{(4)}x+\exp_4exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_4exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_4exp_5^{(0)}x &\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\\
\end{array}
$$z=\mathrm{P}^{\frac16}=e^{\frac{2\pi}6i}=e^{\frac{\pi}3i}$$ の場合
\begin{array}{c}
+\cos_{z}x && &=& \exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(3)}x+\exp_6^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,-1,~~0~,+1]\\-\sin_{z}x &=& +\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(4)}x+\exp_6^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,-1,~~0~,+1,+1]\\ && -(\cos_sin_{z^{-1}}x )' &=& \exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(5)}x+\exp_6^{(3)}x &\leftarrow[-1,-1,~~0~,+1,+1,~~0~]\\\\-\cos_{z}x && &=& \exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(0)}x+\exp_6^{(4)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,+1,~~0~,-1]\\+\sin_{z}x &=& -\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(1)}x+\exp_6^{(5)}x &\leftarrow[~~0~,+1,+1,~~0~,-1,-1]\\ && +(\cos_sin_{z^{-1}}x )' &=& \exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(2)}x+\exp_6^{(0)}x &\leftarrow[+1,+1,~~0~,-1,-1,~~0~]\\
\end{array}
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