Wikiいけめん
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直前の定理を同じように証明する。
===補題===
====補題1====
\( x > 1, y \geq 1 \)のとき\( \log(x+y) < \log(x) + \frac{y}{x} \)
\( y \)の関数\( \log(x+y) \)は上に凸なので\( \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} \)が従う
====補題2====
\( x > 1, y \geq 1 \)のとき
$$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$
===定義===
$$ N' < \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^n \cdot n < \frac{1}{2} n^{n(1+\varepsilon)+1} < n^{n(1+\varepsilon)+1} $$
であるから、\( N' \)は素因数を最大でもは$ p_{n+a} $以降の素因数を最大でも\( n(1+\varepsilon)+1 \)個しか持たない
よって\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると
また\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると
$$ \sum_{k=1}^{n+a} \frac{1}{p_n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{(n+a)}} - \log{\log{2}} < \log{\log{(n+a)}} + 1.2 $$ であるから $$ 0 < S < 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + 2\log{\log{(n+a)}} < 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\ frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + 2\log{\log{n}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}}$$
が成り立つ
$$ f(x) = \left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + 2\log{\log{(x}} +a)\frac{2a}{L_1\log{L_1}} \right) $$
とし、
$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}} $$
とすると
$$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A(B-12+2\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2} $$
であるから、\( L_2 = \mathrm{ceil}(e^{e^{12-B}}) \)とすると
\( x \geq L_2 \)であれば\( f(x) \)は単調減少である
\( a \)を固定し、\( \varepsilon \)を増やすと、\( L_1 \)と\( L_2 \)は増加し、\( L_3 \)は減少する。上記の定理から、\( x < \max(L_1, L_2, L_3) \)のときだけを調べればよい。よって、\( \max(L_1, L_2, L_3)) \)が最小となるように\( \varepsilon \)を取れば最適にできる。
<font size="6">これ以下書き直し。定理の主張には影響しない</font>
====Pythonのコード====
