Wikiいけめん
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[共終数の定義と例を挿入]===第2節 共終数===順序数\( \alpha \)に対し、その'''共終数'''\( \mathrm{cof}(\alpha) \)を以下で定義する。 * \( \alpha = 0 \)のとき\( \mathrm{cof}(0) = 0 \)* \( \alpha = \beta + 1 \)のとき\( \mathrm{cof}(\beta + 1) = 1 \)* \( \alpha \)が極限順序数のとき、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \kappa} f(\beta)} = \alpha \)となるような基数\( \kappa \)と\( f \)を考える。このとき、\( f \)が何であろうと\( \kappa \)は同じ順序数となる。この\( \kappa \)を\( \mathrm{cof}(\alpha) \)とする。 多くの極限順序数において、その共終数は\( \omega \)である。たとえば、\( f (\beta) = \beta \)とすると、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \omega \)であるから、\( \mathrm{cof}(\omega) = \omega \)である。また、\( f (\beta) = \omega + \beta \)とすると、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \omega2 \)であるから、\( \mathrm{cof}(\omega2) = \omega \)である。 \( \Omega \)の共終数は\( \Omega \)である。すなわち、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \Omega \)となるような順序数の関数\( f \)は存在しない。一般に、後続順序数\( \alpha \)に対し\( \Omega_{\alpha} \)の共終数はそれ自身である。 このように、共終数がそれ自身である順序数を'''正則基数'''という。共終数の定義から、正則基数は明らかに基数である。 全ての基数が正則順序数であるわけではない。たとえば、\( f(\beta) = \Omega_{\beta} \)とおくことにより、\( \mathrm{cof}(\Omega_{\omega}) = \omega \)であることがわかる。
\( \Omega \)は順序数であるから、\( \aleph_{\Omega} \)という濃度が存在し、それに伴って\( \Omega_{\Omega} \)も存在する。一般に、任意の順序数\( \alpha \)に対して基数\( \Omega_{\alpha} \)が存在する。
==第3章 到達不能基数==
