Wikiいけめん
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[一般の集合に対するカントールの対角線論法を挿入]また、\( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \)の濃度は\( \mathbb{R} \)の濃度と等しいことが知られている。
1000文字を1レベルとして...ゲームに例えたい
である。\( \mathcal{P}(A) \)は「\( A \)の部分集合をすべて集めた集合」なので、\( \subset \)ではなく\( \in \)であることに注意せよ。
===第3節 一般連続体仮説カントールの対角線論法===出典: [一般連続体仮説を挿入https://mathtrain.jp/cantor 高校数学の美しい物語「カントールの定理の証明と対角線論法」] ここでは、任意の集合\( A \)に対し、\( \mathcal{P}(A) \)の濃度が\( A \)の濃度より大きいことを示す。 「\( A \)を定義域、\( \mathcal{P}(A) \)を終域とする関数」を考える。これは、\( A \)の要素を入力すると、\( A \)の部分集合が出力される関数だと思えばよい。 \( A \)を定義域、\( \mathcal{P}(A) \)を終域とする関数\( f \)を\( f(a) = \{ a \} \)とすると、これは単射である。したがって、\( A \)の濃度は\( \mathcal{P}(A) \)の濃度以下である。 \( A \)の濃度が\( \mathcal{P}(A) \)の濃度と等しくないことを背理法で示す。そのために、等しいと仮定する。このとき、\( A \)を定義域、\( \mathcal{P}(A) \)を終域とする全単射\( g \)が存在する。 このとき、次のような\( A \)の部分集合を考える: $$ B = \{ b \in A | b \not \in g(b) \} $$ \( b \)は\( A \)の要素、 \( g(b) \)は\( A \)の部分集合であるから、\( b \in g(b) \)という命題が意味を持つ。この命題が偽であるような\( b \)だけを集めて作った\( A \)の部分集合が\( B \)である。 \( g \)は全単射であるから、\( g(a) = B \)を満たす\( a \in A \)が存在する。\( B \)は\( A \)の部分集合なので、\( a \in B \)または\( a \not \in B \)のどちらかが成り立つ。しかし、その両方が成り立たないことを示す。 \( a \in B = g(a) \)であるとすれば、\( a \)は\( a \not \in g(a) \)を満たさないので\( B \)の要素ではない。したがって、\( a \in B \)はありえない。 \( a \not \in B = g(a) \)であるとすれば、\( a \)は\( a \not \in g(a) \)を満たすので\( B \)の要素ではない。したがって、\( a \not \in B \)もありえない。 これは矛盾である。矛盾が生じたので、\( A \)の濃度が\( \mathcal{P}(A) \)の濃度と等しくないことが示された。 以上より、任意の集合\( A \)に対し、\( \mathcal{P}(A) \)の濃度が\( A \)の濃度より大きいことが示された。 ===第4節 一般連続体仮説===\( \aleph_0 \)は最も小さい無限集合の濃度であった。無限集合の濃度は順序数に沿って並べることができ、小さい方から $$ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots, \aleph_{\omega}, \aleph_{\omega+1}, \cdots, \aleph_{\omega2} \cdots \cdots $$ と並ぶ。 ここで、次の問題を考える: 任意の無限集合\( A \)に対し、\( A \)の濃度と\( \mathcal{P}(A) \)の濃度の間の濃度は存在しないといえるか? この問題は、ZFCと呼ばれる通常の数学の枠組みでは解けない(YESであることもNOであることも証明できない)ことが知られている。 そこで、この問題の答えがYESであるという命題を一般連続体仮説と呼び、この記事ではそれを信じることにする。「信じる」というのは数学的ではないかもしれないが、そもそも何も信じなければ数学を始められないので、一般連続体仮説を信じることにする。 このとき、次の命題が成り立つ: もし無限集合\( A \)の濃度が\( \aleph_{\alpha} \)であれば、\( \mathcal{P}(A) \)の濃度は\( \aleph_{\mathrm{succ}(\alpha)} \)である。
==第2章 基数と共終数==
