差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$l=z+\baroverline{z}\cdotp z=|z|^2$$ と $$r=z\cdot\baroverline{z}+z$$ を用いた漸化式より得られる数列を用いて $$+1$$ と を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。の一次式で表せるという定理である。

複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$l=z\cdotp\bar{z}\cdotp z=|z|^2$$ と $$r=z+\bar{z}+z=2\mathrm{Re}(z)$$ を用いて次のように表せる。

:$$\begin{array}{l}\begin{pmatrix}z^n\\z^{n+1}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}C_{n}&C_S_{n+1}\\S_C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&1\\-l\\1&r\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r0&1\\-lz\cdotp\1bar{z}&0z+\bar{z}\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0z\end{pmatrix}\end{array}$$ より得られる数列 

:$$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{\displaystyle2^n\sqrt{r^2-4l}}=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k}$$

$$z=e^{i\theta}$$ である場合、$$l=z\cdotp\bar{z}=|z|^2=1,~r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)=2\cos\theta$$ であることから

:$$\begin{array}{l}\begin{pmatrix}C_{n}&C_S_{n+1}\\S_C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&1\\-1z\cdotp\1bar{z}&2z+\cos\thetabar{z}\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}20&1\cos\theta&-1&2\cos\1&0theta\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0z\end{pmatrix}\end{array}$$ より得られる数列

\end{cases}~$$

z^2&=-1+rz\\&=-1+(2\cos\theta)z\\z^3&=-r+(-1+r^2)z\\&=-(2\cos\theta)+[(2\cos\theta)^2-1]z\\&=-(2\cos\theta)+[2\cos2\theta+1]z\\z^4&=-(-1+r^2)+(-2r+r^3)z\\&=-[(2\cos\theta)^2-1]+[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z\\&=-[2\cos2\theta+1]+[2(\cos\theta+\cos3\theta)]z\\z^5&=-(-2r+r^3)+(-3r^2+1+r^4)z\\&=-[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]+[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1]z\\&=-[2(\cos\theta+\cos3\theta)]+[2(\cos2\theta+\cos4\theta)+1]z\\

と表せる。この場合の数列の一般項は次の通りである。  :と表せる。この場合の数列 $$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\theta-1}\right)^n-\left(\cos\theta-\sqrt{\cos^2\theta-1}\right)^n}{\displaystyle2\sqrt{\cos^2\theta-1}}\left(=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}S_n$$ の一般項は次の通りであり、同じく $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。

$$\begin{pmatrix}C_{n}&C_S_{n+1}\\S_C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-(a^2-b^2)\\1&2a\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&-(a^2-b^2)\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列

$$\begin{pmatrix}C_{n}&C_S_{n+1}\\S_C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ の示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。の示す座標を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数として次のような等式を想定する。