差分

:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$

で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの'''定和分'''と呼び、上図の灰色の部分の面積を表す。<ref group="注">終点 なお、終点 $$b$$ は含まれないことに注意する。</ref>

:$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$

を満たす $$\sum f(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。<ref group="注">逆差分 $$\Delta^{-1}f(x)$$ と表されることもある。</ref> 上述の通り差分は元の関数の定数項に関係ないため、不定和分は不定積分と同様に定数項が任意定数となる。 <!-- ====不定和分の例==== -->

:$$\displaystyle{\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t=f(x)}$$

すなわち $$F(x)=\sum f(x)\,\delta x$$ とした時

:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$

<!==和分差分の性質=====線形性===:$$\displaystyle{\Delta kf(x)=k\Delta f(x)}$$:$$\displaystyle{\Delta\{f(x)+g(x)\}=\Delta f(x)+\Delta g(x)}$$:$$\displaystyle{\sum kf(x)\delta x=k\sum f(x)}$$:$$\displaystyle{\sum \{f(x)+g(x)\}\delta x=\sum f(x)+\sum g(x)}$$ ===下降階乗===正の自然数 $$n$$ に対して下降階乗 $$x^{\underline n}$$ を:$$x^{\underline n}=x(x-1)(x- 簡単な証明 2)\cdots(x-n+1)$$と定義する。:$$\begin{align*}\Delta x^{\underline n}&=(x+1)x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)-x(x-1)(x-2)\cdots(x->n+1)\\<!&=\{(x+1)-(x-n+1)\}x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)\\&=nx^{\underline{n- 1}}\end{align*}$$和分差分学の基本定理より:$$\sum x^{\underline n}=\cfrac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}$$が従う。 またこの性質を用いると、:$$\displaystyle{\begin{align*}\sum_{x=和分差分の考えを用いた漸化式の解法1}^nx^2&=\sum\nolimits_1^{n+1}x^2\\&= \sum\nolimits_1^{n+1}\{x(x-->1)+x\}\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x^{\underline2}+x^{\underline1}\}\\&=\left[\frac{x^{\underline3}}3+\frac{x^{\underline2}}2\right]_1^{n+1}\\&=\frac16n(n+1)(2n+1)\end{align*}}$$など $$n$$ 乗の和の公式を導くことができる。