利用者:Nayuta Ito/ガラパゴ三角関数の加法定理

このページでは、ガラパゴ三角関数の世界にもコスモスが咲くのかを検討する。

定義

$$ \tau $$をユークリッド平面における円の周の長さをその半径で割った値、すなわち$$ 2\pi $$とする。

$$ e^{\tau i x} $$を$$ \mathbb{P}^x $$と表す。

$$ z $$を絶対値が$$ 1 $$の複素数とする。このとき、各$$ x \in \mathbb{R} $$に対し

$$ e^{xz} = C + zS $$

を満たす$$ C, S \in \mathbb{R} $$が唯一つ存在する。この$$ C, S $$をそれぞれ

$$ \cos\left(x, z\right), \sin\left(x, z\right) $$

と書くことにする。

$$ z = \pm 1 $$のときは上の定義では$$ \cos, \sin $$は定義されないが、このときは$$ z $$を単位円周上から近づけたときの極限として定義する。

観察

$$ \cos\left(x, i\right) = \cos{x}, \sin\left(x, i\right) = \sin{x} $$であり、

$$ \sin{(x+y)} = \sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y} $$

$$ \cos{(x+y)} = \cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y} $$

が成り立っている。

$$ \cos\left(x, -1\right) = (1+x)e^{-x}, \sin\left(x, -1\right) = xe^{-x} $$であり、

$$ \begin{align*} & \cos\left(x+y, -1\right) \\ &= (1+x+y)e^{-(x+y)} \\ &= \left( (1+x)(1+y)-xy \right)e^{-x}e^{-y} \\ &= \cos\left(x, -1\right)\cos\left(y, -1\right)-\sin\left(x, -1\right)\sin\left(y, -1\right) \end{align*} $$

$$ \cos\left(x, 1\right) = (1-x)e^{-x}, \sin\left(x, 1\right) = xe^{-x} $$であり、

$$ \begin{align*} & \cos\left(x+y, -1\right) \\ &= (1-x-y)e^{-(x+y)} \\ &= \left( (1-x)(1-y)-xy \right)e^{-x}e^{-y} \\ &= \cos\left(x, 1\right)\cos\left(y, 1\right)-\sin\left(x, 1\right)\sin\left(y, 1\right) \end{align*} $$

ここから次のことが予想できる:

$$ \cos\left(x+y, z\right) = \cos\left(x, z\right)\cos\left(y, z\right)-\sin\left(x, z\right)\sin\left(y, z\right) $$

視えたら自明かもしれない

観察2

$$ \begin{align*} & e^{i(x+y)} \\ &= e^{ix}e^{iy} \\ &= (\cos{x}+i\sin{x})(\cos{y}+i\sin{y}) \\ &= (\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}) + i(\sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y}) \end{align*} $$

主定理

$$ \begin{align*} & e^{z(x+y)} \\ &= e^{zx}e^{zy} \\ &= (\cos(x,z)+z\sin(x,z))(\cos(y,z)+z\sin(y,z)) \\ &= (\cos(x,z)\cos(y,z)) + z(\sin(x,z)\cos(y,z) + \cos(x,z)\sin(y,z)) + z^2\sin(x,z)\sin(y,z) \\ &= (\cos(x,z)\cos(y,z)) + z(\sin(x,z)\cos(y,z) + \cos(x,z)\sin(y,z)) + (2\mathrm{Re}(z)-1)\sin(x,z)\sin(y,z) \\ &= (\cos(x,z)\cos(y,z) - \sin(x,z)\sin(y,z)) + z(\sin(x,z)\cos(y,z) + \cos(x,z)\sin(y,z) + 2\mathrm{Re}(z)\sin(x,z)\sin(y,z)) \end{align*} $$

結論

コスモスがきれいに咲くのは$$ z = \pm i $$の特殊な場合のみであることが分かった。