ガラパゴ累乗定理

みゆの累乗定理（みゆのるいじょう定理）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$z$$ の一次式で表せるという定理である。

ガラパゴ数学の主定理の一つで、幾何イメージを 実数 $$+1$$ と複素数 $$z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の数に対応させることで代数的に扱えるようになることを特徴とする。この定理は、ガラパゴ数学の創始者である みゆ によって発見された。

概要

複素数 $$z$$ の 正整数 $$n$$ 乗を、$$r=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ を用いて次のように表す。

$$\displaystyle z^n=\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^kr^{n-2k-1}l^{k}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^kr^{n-2k-2}l^{k}\right]l$$

$$z^1=z$$

$$z^2=rz-l$$

$$z^3=(r^2-l)z-rl$$

$$z^4=(r^3-2rl)z-(r^2-l)l$$

$$z^5=(r^4-3r^2l+l^2)z-(r^3-2rl)l$$

$$\quad\quad\quad\quad\vdots$$

特に $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=1$$ であることから

$$\displaystyle z^n=\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}\right]z-\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-2}$$

$$z^1=z$$

$$z^2=2z\cos\theta-1$$

$$z^3=(4\cos^2\theta-1)z-2\cos\theta$$

$$z^4=(8\cos^3\theta-4\cos\theta)z-(4\cos^2\theta-1)$$

$$z^5=(16\cos^4\theta-12\cos^2\theta+1)z-(8\cos^3\theta-4\cos\theta)$$

$$\quad\quad\quad\quad\vdots$$

導出

$$\{a,b\in\mathbb{Z}\}、\{z\in\mathbb{C}\}$$ において、$$+1$$ と $$+i$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z=a+bi$$ を次のように二乗する。

\begin{align} z^2=&(a+bi)(a+bi)\\ =&(a+bi)(2a-(a-bi))\\ =&2a(a+bi)-(a+bi)(a-bi)\\ =&2a(a+bi)-(a^2+b^2)\\ =&2a(a+bi)-\sqrt{a^2+b^2}^2\\ =&2\mathrm{Re}(z)z-|z|^2\\ \end{align}

ここで、$$r=2\mathrm{Re}(z)$$、$$l=|z|^2$$ と置くと

\begin{align} z^2=rz-l \end{align}

両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=rz^2-lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz-1$$ を代入することで $$z$$ の一次式へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を一次式へと帰結させて恒等式を得る。

幾何への応用

複素平面上において、$$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とするベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし実数ではない任意の複素数 $$z$$ を終点とするベクトル $$\vec{t}$$ は線形独立である。$$\vec{t}$$ を、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍回転させて得られるベクトル $$\vec{u}$$ は、この累乗恒等式によって $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。

みゆの三辺比定理

みゆの三辺比定理は、三角形の二辺のなす角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である場合の三辺比は２つの変数からなる代数式の比で表せる、ということを示す定理であり、

$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta$$

として示される。これは $$z=e^{i(\pi-\theta)}$$ として $$(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz$$ にみゆの累乗恒等式を適用することで導くことができる。