差分

となる。このことから、この概念は四元数など多元数内の となる。このことは、$$\mathbb{R}^2z$$ にも適用可能であることが示される。が四元数など多元数であってもこの定理が成り立つことを示している。

実数 $$+1$$ と絶対値が １ である任意の複素数 と複素数 $$z=e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\left(\equiv\mathbb{Ptheta}^\frac{m}{n}、\{n,m\in\mathbb{Z}^+\}\right)$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$（厳密にいえば、（厳密にいえば $$z\theta$$ の偏角によっては によっては $$\mathbb{R}^2$$ を成さないが）を想定する。このとき、半径 $$e^{x\cos\left(2\pi\cdot\frac{m}{n}\right)theta}$$ で示される螺旋軌道上で、偏角が で示される螺旋軌道上の座標について、偏角が $$x\sin\lefttheta~(2\pi\cdot\frac{m}{n}\right)~\mathrm{rad})$$ である場合の座標の実部と である場合の実部と $$z$$ 部を次のように示す関数である。部を次のように示す。

:$$e^{xz}=\cos_cos(x,\frac{m\theta}{n2\pi}(x)+z\sin_sin(x,\frac{m\theta}{n2\pi}(x)$$

これらの関数 $$\cos_cos(x,\frac{m\theta}{n2\pi}(x)$$ と $$\cos_sin(x,\frac{m\theta}{n2\pi})$$ は一般的な三角関数を斜交座標系で扱えるように拡張したものであり、$$\cos x=\cos(x,\frac14)$$、$$\sin x=\sin(x,\frac14)$$ の級数展開は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて導くことができる。詳しくはということになる。ここで特筆すべきは、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数である場合、これらの関数の級数展開形は左辺のマクローリン展開よりガラパゴ累乗定理を用いて導くことができるということである。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。