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回編集
差分
== 概要 ==
複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$l=z\cdotp\bar{z}\cdotp z=|z|^2$$ と $$r=z+\bar{z}+z=2\mathrm{Re}(z)$$ を用いて次のように表せる。
$$\begin{pmatrix}S_{n+1}&S_{n}\\C_{n+1}&C_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\bar{z}&1\\-z\cdotp\bar{z}&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}r&1\\-l&0\end{pmatrix}^n$$ または $$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-z\cdotp\bar{z}\\1&z+\bar{z}\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列
===絶対値が１のケース===
$$z=e^{i\theta}$$ である場合、$$l=z\cdotp\bar{z}=|z|^2=1,~r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)=2\cos\theta$$ であることから
$$\begin{pmatrix}S_{n+1}&S_{n}\\C_{n+1}&C_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\bar{z}&1\\-z\cdotp\bar{z}&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}2\cos\theta&1\\-1&0\end{pmatrix}^n$$ または $$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-z\cdotp\bar{z}\\1&z+\bar{z}\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列
:$$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n-\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)^n}{\displaystyle2i\sin\theta}\left(=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}$$
==導出==