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差分
以上より示された。
==予想定理: \( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n\# \cdot M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数は\( a \)ごとに有限個しかない==
===補題===
===証明===
\( n \geq a 2a, n \geq 3 \)としてよい
\( p_n\# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} \)であるから
\( \begin{align*}
=& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a}+\log{n})^{an} \cdot an \\
<& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\
<& n^{-\log_n{2} + an(an-\log_n{2} + 1+ \log_n{a} + \log_n(2\log{n})) + 2an 2} \\=& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2a} + 1 + \log_n(2\log{n})) + 2} \\<& n^{(an-1) + 2an + an 3an + 2} \\=& n^{4an3an+1} \\
\end{align*} \)
であるから$ \( N' \)の素因数の個数は\( 4an 3an+1 \)個以下である。また、\( N' \)の素因数は全て\( p_{n+1} \)以上であるから、\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると、
$$ T < \frac{4an3an+1}{n\log{n}} = \frac{4a 3a + \frac{1}{n}}{\log{n}}$$
である。また、\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると、
よって
\( S \cdot T < \frac{4a 3a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) \)
であり、これは\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \)で\( 0 \)に収束する。Q.E.D.に収束する。