Wikiいけめん
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\( p_n \)で\( n \)番目の素数を表す。また、\( \log \)は全て自然対数である。
==予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない==
mod5で考えるとc+2b'は5の倍数
==予想: 素数階乗は素微分友愛数にならない==
===素数定理===
[https://mathworld.wolfram.com/RossersTheorem.html Rosser's Theorem]によると、\( n \)番目の素数は\( n \log{n} \)より大きい。
また、\( n \geq 6 \)のとき、\( n \)番目の素数は\( n (\log{n} + \log{\log{n}}) \)より小さいことが[https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem#Approximations_for_the_nth_prime_number 知られている。]
\( n (\log{n} + \log{\log{n}}) < 2n \log{n} \)であることは容易にわかる。また、数値計算と合わせて\( p_n < 2n \log{n} \)が\( n \geq 3 \)で成り立つことが分かる。
===証明===
10番目(29#)までの素数階乗は実験により素微分友愛数でないことが確かめられる
N=(n番目の素数階乗)について考えその大きさを評価する
n>=11のとき
\( N < (2n \log{n})^n \)である
\( \begin{align}
& N' \\
<& \frac{1}{2} \cdot (2n \log{n})^n \cdot n \\
=& 2^{n-1} \cdot (\log{n})^n \cdot n^{n+1} \\
=& n^{n+1 + (n-1)\log_n{2} + n\log_n{\log{n}}} \\
<& n^{n+1 + n\log_n{2\log{n}}} \\
<& n^{n+1 + n\log_n{2n^{0.4}}} \\
<& n^{n+1 + 0.37n + n\log_n{2}} \\
<& n^{n+0.1n + 0.37n + 0.29n} \\
<& n^{1.76n}
\end{align} \)
\( N' \)の素因数は\( p_n \)以上であるから、素因数は最大でも\( 1.76n \)個しか持たない
よって\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると
\( 0 < T < \frac{1.76n}{n\log{n}} = \frac{1.76}{\log{n}} \)
が成り立つ
n>10とする
また\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると
\( \begin{align}
& S \\
<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p_n} \\
\leq & \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \sum_{k=11}^n \frac{1}{n\log{n}} \\
<& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \int_{10}^n \frac{1}{x\log{x}} dx (\because \frac{1}{x\log{x}}は単調減少) \\
=& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} - \log{\log{10}} \\
<& \log{\log{n}} + 0.7 \\
\end{align} \)
であるから
\( S \cdot T < \frac{1.76}{\log{n}}(\log{\log{n}} + 0.7) \)
である。
\( f(x) = \frac{1.76}{\log{x}}(\log{\log{x}} + 0.7) \)
とおくと、
\( \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{2(\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2} \)
であるから、\( x > e \)で\( f(x) \)は単調減少である。
数値計算によると\( x \geq 30 \)で\( f(x) < 1 \)となるから矛盾。
よって\( 30 \)番目の素数階乗まで調べればよい。わんだほーい！！！