# それ以外
2つ目のグループに入る順序数を後続順序数といい、そうでない順序数を極限順序数という。たとえば、2つ目のグループに入る順序数を'''後続順序数'''といい、そうでない順序数を'''極限順序数'''という。たとえば、\( O_1, O_2, O_{\omega+1} \)などは後続順序数であり、\( O_0, O_{\omega}, O_{\omega2} \)などは極限順序数である。
===第9節 順序数の算術===
である。ある意味で、\( O_{\omega2} \)は「無限よりさらに大きい無限」であると言える。
自然数との類似点: 自然数\( a, b \)に対し、\( a+b=c \)とすると、\( O_a + O_b = O_c \)が成り立つ。
順序数\( \alpha, \beta \)に対し、\( \alpha \cdot \beta \)を次のように定義する。
[定義を挿入]# \( \beta = O_0 = \emptyset \)のとき: \( \alpha \cdot O_0 = O_0 \)# \( \beta = \mathrm{succ}(\gamma) \)のとき: \( \alpha \cdot \mathrm{succ}(\gamma) = \alpha \cdot \gamma + \alpha \)# それ以外のとき: \( \alpha \cdot \beta = \lim_{\gamma < \beta} (\alpha \cdot \beta) \) 加法の定義と同じように、3つに分けて定義されている。\( \beta \)が極限順序数であるときの定義は加法と全く同じである。加法と乗法以外にも極限順序数に対して同様の定義を行っているものは多いが、ここでは触れないことにする。 以下に例を示す。 \( \begin{align*}& O_3 \cdot O_2 \\=& O_3 \cdot \mathrm{succ}(O_1) \\=& O_3 \cdot O_1 + O_3 \\=& O_3 \cdot \mathrm{succ}(O_0) + O_3 \\=& (O_3 \cdot O_0 + O_3) + O_3 \\=& (O_0 + O_3) + O_3 \\=& O_3 + O_3 \\=& O_6 \\\end{align*} \) この例のように、自然数\( a, b \)に対して\( O_a \cdot O_b = O_{a \cdot b} \)が成り立つことが知られている。 \( \begin{align*}& O_{\omega} \cdot O_2 \\=& O_{\omega} \cdot \mathrm{succ}(O_1) \\=& O_{\omega} \cdot O_1 + O_{\omega} \\=& O_{\omega} \cdot \mathrm{succ}(O_0) + O_{\omega} \\=& (O_{\omega} \cdot O_0 + O_{\omega}) + O_{\omega} \\=& (O_0 + O_{\omega}) + O_{\omega} \\=& O_{\omega} + O_{\omega} \\=& O_{\omega2} \\\end{align*} \) \( \cdot \)の左側が極限順序数であっても、右側が後続順序数であれば、2つ目のルールが適用される。 \( \begin{align*}& O_2 \cdot O_{\omega} \\=& \lim_{\gamma < \omega} (O_2 \cdot \gamma) \\\end{align*} \) これは\( O_2 \cdot O_0=O_0, O_2 \cdot O_1=O_2, O_2 \cdot O_2=O_4, \cdots \)のという列の極限である。すなわち、整数\( 0, 2, 4, \cdots \)の極限が\( +\infty \)であるのと同様にして、順序数\( O_0, O_2, O_4, \cdots \)の極限は\( O_{\omega} \)となる。すなわち、 $$ O_{\omega} \cdot O_2 = O_{\omega2} \neq O_{\omega} = O_2 \cdots O_{\omega} $$ である。 自然数との類似点: 自然数\( a, b \)に対し、\( a \cdot b=c \)とすると、\( O_a \cdot O_b = O_c \)が成り立つ。 自然数との相違点: どんな自然数\( a, b \)に対しても\( a \cdot b = b \cdot a \)であるが、どんな順序数\( \alpha, \beta \)に対しても\( \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha \)が成り立つとは限らない。 以上のことから、自然数\( a \)に対して\( O_a \)は\( a \)と同じような性質を持つことが分かった。そこで、今まで\( O_{\alpha} \)と書いていたものを単に\( \alpha \)と書くことにする。たとえば、 $$ O_1 = 1, O_2 = 2, O_0 = 0, O_{\omega} = \omega, O_{\omega+1} = \omega+1, O_{\omega2} = \omega2 $$
[自然数の例を挿入]のように書く。
[非可換な例を挿入]\( 0 \)および自然数の範囲内では整数と順序数で計算の結果は全く同じになるから、このような同一視を行っても問題ない。また以下でも、順序数がもともと集合であったことを強調するために\( O_{\alpha} \)という表記を使うことがある。
[自然数との類似点・相違点を挿入]==第1¼章 全射・単射・全単射==ここでは一旦順序数から離れ、全射・単射・全単射の概念に触れる。
==第1½章 カントールの対角線論法==
[一般の集合に対するカントールの対角線論法を挿入]
==第1¾章 全射・単射・全単射==
==第2章 基数と共終数==