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も順序数である。一般に、もし集合\( A \)が順序数であれば、\( \mathrm{succ}(A) = A \cup \{ A \} \)も順序数である。
\( O_{\omega} \)から始めて\( \mathrm{succ } \)を繰り返し取ることにより、
$$ O_{\omega}, O_{\omega+1}, O_{\omega+2}, O_{\omega+3}, \cdots $$
という無限列が得られる。さらに、これらのどれよりも大きい
$$ O_{\omega2} = \{ O_0, O_1, O_2, \cdots, O_{\omega}, O_{\omega+1}, O_{\omega+2} \cdots $$
も順序数である。もちろん、\( \mathrm{succ}(O_{\omega2}) = O_{\omega2+1} \)も順序数だし、\( \mathrm{succ}(O_{\omega2+1}) = O_{\omega2+2} \)も順序数である。順序数は、いくら具体例をリストアップしても文字通りの意味で切りがない。
===第8節 順序数の算術===
巨大基数を定義するうえでは直接必要とならないが、順序数に対する直感を深めるために、ここでは順序数の大小比較、足し算、掛け算を定義し、その性質の自然数のそれらとの類似点・相違点を確認する。
====1. 順序数の比較====
どんな順序数\( \alpha, \beta \)に対しても、次の3つのうちのいずれか1つだけが成り立つことが知られている。これを三分律という。
# \( \alpha \in \beta \)である。
# \( \alpha = \beta \)である。
# \( \alpha \ni \beta \)である。
\( \alpha \in \beta \)が成り立つとき、\( \alpha \)は\( \beta \)より小さいとし、\( \alpha < \beta \)と書く。\( \leq, >, \geq \)に対しても同様に定義する。
自然数との類似点: 自然数\( a, b \)に対し、\( O_a < O_b \)は\( a < b \)の必要十分条件である。また、順序数では\( O_{\alpha_1} > O_{\alpha_2} > O_{\alpha_3} > \cdots \)のように徐々に小さくなる順序数を取っていくといつかは必ず\( \emptyset = O_0 \)になってそれより小さい順序数が取れなくなるが、自然数でも同様に、徐々に小さくなる自然数を取っていくといつかは必ず最小の自然数\( 1 \)<ref>この記事は高校数学を仮定している。そのため、\( 0 \)は自然数ではなく、\( 1 \)が最小の自然数である。\( \mathbb{N} \)という記号の定義に「自然数」を用いていないため、\( 0 \)が自然数でないことと\( 0 \in \mathbb{N} \)であることが両立することに注意せよ。</ref>に辿り着いて、それより小さい自然数が取れなくなる。
自然数との相違点: \( O_{\omega} \)より小さい順序数は\( O_0, O_1, O_2, \cdots \)と無限に存在する。しかし、「それより小さい自然数が無限に存在する自然数」は存在しない。
==第1½章 カントールの対角線論法==
==第3章 到達不能基数==
==脚注==
<references />