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差分
集合論
,編集の要約なし
$$x$$が2つの$$A, B$$に対して、$$A$$のみの元であるような集合を'''差集合'''、またこのときの$$B$$を$$A$$に関する'''補集合'''$$B^\complement$$と言い、以下のように表すことができる。
$$B^\complement = A \setminus -B \equiv \{x \in U | x \in A, x \notin B\}$$ また差集合は$$A-B$$と表すこともできる。
補集合に関する公式として'''ド・モルガンの法則'''がある。
==関係==
===二項関係と同値関係同値関係===
集合$$A$$と集合$$B$$による順序対による集合を'''二項関係'''という。この場合、直積$$R \subset A \times B$$の部分集合$$R$$を意味する。$$R-$$関係ともいう。
また$$n$$個の集合$$A, B, C \cdots$$との関係を'''$$n$$項関係'''という。
上の条件を合わせて'''同値律'''といい、これを満たす同値関係$$A$$と$$B$$は、$$A$$~$$B$$とも表される。
$$R$$が$$X$$における同値関係のとき、各$$x \in X$$に対して次のような関係が成り立つとき、これを$$x$$の'''同値類'''と言い、$$[x]$$と表す。また$$x$$を$$[x]$$の'''代表元'''という。
$$[x] \equiv \{ y \in X ; (x, y) \in R \}$$
集合$$A$$上に同値関係$$R$$が与えられたとき、この同値類全体を$$A/R$$と書き、これを$$A$$の$$R$$による'''商集合'''という。