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集合論
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集合論とは、集合を中心に扱う数学の分野で、19世紀後半のドイツの数学者ゲオルク・カントール(1845 ~ 1918)によって創始され、その後の現代の数学分野に大きな影響を及ぼした。
==数学史的な経緯とその後==
これは一般的に'''ラッセルのパラドックス'''と呼ばれ、このパラドックスを解消するための措置として 、ドイツの数学者エルンスト・ツェルメロ(1871 ~ 1953)と、イスラエルの数学者アドルフ・フレンケル(1891 ~ 1965)によって公理的集合論(ZF体型)として改良されていった。
このようなパラドックスを経ながら成立した集合論はやがて数学のそれ自体を考え直す、数学基礎論や、抽象代数学など、その後の現代数学における基礎として、発展していった。
==集合==
'''集合'''(set)とは「ものの集まり」を意味している。この集められる対象となる「もの」を集合の要素あるいは単に'''元'''(element)という。(以下、元で統一する。)
集合を$$X$$、$$X$$の元を$$x$$としたとき、$$x$$ が$$X$$の元であることを、$$x \in X$$ 、あるいは$$x$$が$$X$$の元でないことを、$$x \notin X$$と表し、こうした集合の元と、元が含まれる集合との関係を帰属関係という。
$$x$$が2つの$$A, B$$に対して、$$A$$のみの元であるような集合を'''差集合'''、またこのときの$$B$$を$$A$$に関する'''補集合'''$$B^\complement$$と言い、以下のように表すことができる。
$$B^\complement = A \setminus -B \equiv \{x \in U | x \in A, x \notin B\}$$ また差集合は$$A-B$$と表すこともできる。
補集合に関する公式として'''ド・モルガンの法則'''がある。
==関係==
===二項関係と同値関係同値関係===
集合$$A$$と集合$$B$$による順序対による集合を'''二項関係'''という。この場合、直積$$R \subset A \times B$$の部分集合$$R$$を意味する。$$R-$$関係ともいう。
また$$n$$個の集合$$A, B, C \cdots$$との関係を'''$$n$$項関係'''という。
上の条件を合わせて'''同値律'''といい、これを満たす同値関係$$A$$と$$B$$は、$$A$$~$$B$$とも表される。
$$R$$が$$X$$における同値関係のとき、各$$x \in X$$に対して次のような関係が成り立つとき、これを$$x$$の'''同値類'''と言い、$$[x]$$と表す。また$$x$$を$$[x]$$の'''代表元'''という。
$$[x] \equiv \{ y \in X ; (x, y) \in R \}$$
集合$$A$$上に同値関係$$R$$が与えられたとき、この同値類全体を$$A/R$$と書き、これを$$A$$の$$R$$による'''商集合'''という。