差分

\[(ku(x)+lv(x))''+g_1(x)(ku(x)+lv(x))'+g_2(x)(ku(x)+lv(x))=0\]

加えて、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。また、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。$$f$$についての線型非斉次常微分方程式は$$g_n(x)=1$$と$$k=0,1,2,\cdots,n-1$$に対応する関数$$g_k$$, 恒等的に$$0$$ではない関数$$h$$を用いて一般に\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f(x)=h(x)\]

\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)u(x)=h(x)\]

\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)(f(x)-u(x))=0\]

\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f_1(x)=0\]を解くことによって求められる。そして$$f(x)=f_1(x)+u(x)$$であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができたことになる。であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができる。