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回編集
差分
編集の要約なし
複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いて次のように表せる。
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(A_{k-1})r+(A_{k-2})l
\end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$として
:$$z^n=(A_{n})z+(A_{n-1})l\\$$
:$$\begin{array}{l}
z^1=&z\\
特に、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=-1$$ であることから
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(A_{k-1})(2\cos\theta)-(A_{k-2})
\end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$として
:$$z^n=A_{n}z-A_{n-1}$$
:$$\begin{array}{l}
z^1&=z&\\
:$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~\begin{cases}
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(A_{k-1})+(A_{k-2})
\end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$