'''みゆの累乗恒等式'''（みゆのるいじょうこうとうしき）とは、複素数 $$z$$ の累乗を $$z$$ の一次式で表す恒等式である。
実数 この恒等式は、実数 $$+1$$ と複素数 $$z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数を扱うことで、幾何への応用が可能である。上で代数的に幾何を扱うことを主目的として [[みゆ]] により考案された。
== 概要 ==
$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を元とする基底空間において、内角の一つに $$\psi=(\pi-\theta)~\mathrm{rad}$$ をもつ三角形を想定する。
$$\psi~\mathrm{rad}$$ である内角の対辺を $$x+yz$$ で表現すると、対辺の原点側の内角を２倍して得られる直線はみゆの累乗恒等式を用いてで表現する。ここで見出すことのできる三角形の三辺比は、:$$(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz=x^2+y^2(2z\cos\theta-1)+2xyz=(x^2-$$ ： $$y^2)+2(x+y\cos\theta)yz$$を通ることがわかる。このとき、： $$|x+yz|$$ で表現される三角形の三辺比は余弦定理よりであるが、余弦定理を用いることで次のようにも表現できる。
:$$x$$ ： $$y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\psi}$$
であり、この三角形における $$\psi~\mathrm{rad}$$ の対辺に対し、原点側の内角を２倍して得られる直線は:$$(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz$$を通る。この座標はみゆの累乗恒等式を用いることで:$$(x+yz)^2=x^2+y^2(2z\cos\theta-1)+2xyz=(x^2-y^2)+2(x+y\cos\theta)yz$$ で表現される三角形の三辺比はと表すことができ、これによって示される新たな三角形の三辺比は:$$x^2-y^2$$ : $$2(x+y\cos\theta)y$$ ： $$|x+yz|^2$$である。これは先程の余弦定理を用いた表現によって
:$$x^2-y^2$$ : $$2(x+y\cos\theta)y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\psi}^2$$
すなわちと置き換えることができ、$$\theta$$ と $$\psi$$ の関係から
:$$x^2-y^2$$ : $$2(x-y\cos\psi)y$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\psi$$
と表せる。これは内角の一つに と言える。この代数比は、内角の一つに $$\psi~\mathrm{rad}$$ を持つ三角形はこの比率で生成できることを意味し、これを'''みゆの三辺比定理'''という。を持つ三角形の三辺比を示している。
この定理より、余弦定理を用いて以下の恒等式を導くことができる。余弦定理を用いると以下の恒等式を導くことができ、:$$(x^2-y^2)^2+\left[2(x-y\cos\psi)y\right]^2-4(x^2-y^2)(x-y\cos\psi)\cos\thetapsi=(x^2+y^2-2xy\cos\psi)^2$$三辺比をこのような代数比で表現できるという定理を、発見者である みゆ にちなんで'''みゆの三辺比定理'''という。
また、この定理により、$$\cos\psi$$ が有理数値をとるような内角を持つ三角形の三辺比は代数式を用いて整数比で表すことができる。が有理数値をとるような内角を持つ三角形の三辺比は代数を用いて整数比で表すことができる。
\begin{array}{lrl}
内角の一つが~\psi=~\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}&(90^{\circ})&~&x^2-y^2&：&2xy&：&x^2+y^2\\