Wikiいけめん
47
回編集
差分
定和分の表記を delta に戻した
:[[File:Piecewise quadrature.png|400px]]
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$
で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの'''定和分'''と呼び、上図の灰色の部分の面積を表す。
なお、終点 $$b$$ は含まれないことに注意する。
:$$\displaystyle{\begin{align*}
\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t
&=\Delta\sum_{n=a}^{x-1}f(n)\\
&=\sum_{n=a}^{x}f(n)-\sum_{n=a}^{x-1}f(n)\\
より
:$$\displaystyle{\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t=f(x)}$$
となる。
また、$$F(x)=\sum f(x)$$ とした時、上で示した式と前節の不定和分の定義より
:$$\displaystyle{F(x)=\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t+C}$$
となり、
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$
が成立する。前節のグラフを見ても明らかである。
:$$\displaystyle{\begin{align*}
\sum_{x=1}^nx^2
&=\sum\nolimits_1^{n+1}x^2\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x(x-1)+x\}\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x^{\underline2}+x^{\underline1}\}\,\delta x\\
&=\left[\frac{x^{\underline3}}3+\frac{x^{\underline2}}2\right]_1^{n+1}\\
&=\frac16n(n+1)(2n+1)
となり、両辺を和分し整理することによって部分和分
:$$\displaystyle{\sum f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)}$$
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^b f(x)\Delta g(x)\,\delta x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\sum\nolimits_a^b g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$
を導ける。
==注==
<references group="注"/>