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差分
$$x$$ の二次方程式
$$f(x)=0$$ の解を
$$\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$$ とおく。 \[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\]とできる。
三次関数の五点定理を用いると、
\[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2
=f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\]
$$f(\alpha)+f(\beta)$$
が求まったので、
$$f(\alpha)-f(\beta)$$
を考える。
以下のように変形を行う。
\begin{eqnarray*}
f(\alpha)-f(\beta)
&=& \int_\beta^\alpha f'(x)dx\\
&=& \int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\
&=& \frac a6(\beta-\alpha)^3
\end{eqnarray*}
まとめると
\begin{cases}
\displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2
=f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\\
\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)
=\frac a6(\beta-\alpha)^3
\end{cases}
$$\alpha,\beta$$ は二次方程式の解なので、和や差については特に簡単に求めることができる。
よって、これを連立することによって
$$f(\alpha),f(\beta)$$
を簡単に求めることができる。