'''みゆの三辺比定理'''（みゆのさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABC$$ において、辺 において、長さが $$x$$ の辺 $$AB$$ と 辺 長さが $$y$$ の辺 $$AC$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、$$\angle B$$ の角度を偶数倍（それに合わせて辺 の角度を偶数倍すなわち辺 $$ABBC$$ と を $$ACB$$ の長さを伸縮）して得られる新たな三角形の三辺比は を中心として回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$ABx$$ の長さ、、$$ACy$$ の長さ、、$$c=\cos\theta$$ を変数とみなした整式で表せる、という定理である。の整式で表せるという定理である。[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、特に $$\theta=\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}$$ の場合は'''ピタゴラスの定理II'''、'''ピタツー'''などの愛称で呼ばれる。などの愛称で呼ばれることもある。
==概要==
辺 $$AB$$ の長さが $$x$$、辺 $$AC$$ の長さが $$y$$、これら二辺の成す内角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ であるようなユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABC$$ において、の三辺比は次の通りである。:$$x$$ ： $$y$$ : $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$この三辺比は、$$AB$$ 上に $$\angle BA'C$$ が直角となるような点 $$A'$$ を置くことで（その直角を挟む辺の長さが $$x+y\cos(\pi-\theta)$$ と $$y\sin(\pi-\theta)$$ であることから）容易に導出できるが、三平方の定理に起因する平方根項が存在するため整式の比とはなっていない。 しかし、$$\angle B$$ の角度を２倍（それに合わせて辺 を偶数倍すなわち辺 $$ABBC$$ と を $$ACB$$ の長さを伸縮）して得られる新たな三角形の三辺比は を中心として回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ を変数とみなした整式で表すことができる。の整式で表すことができる。
$$\angle B$$ を２倍した場合
:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y2cy^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta2cxy$$
この場合、いずれの辺も $$0$$ ではないとき $$(x^2-y^2)$$ と $$(2xy-2y^2\cos\theta)$$ に対応する二辺の成す角の角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。ここでいう二辺の成す角とは必ずしも内角を指すものではない。辺 $$AB$$ と辺 $$AC$$ の伸縮によっていずれか一方のみが負数倍となる場合は内角と外角が入れ替わるため、内角としては $$\pi-\theta~\mathrm{rad}angle B$$ となる。を４倍した場合
:$$x^4+y^4-6x^2y^2+8cxy^3-4c^2y^4$$ ： $$-4x^3y+4xy^3+12cx^2y^2-4cy^4-16c^2xy^3+8c^3y^4$$ ： $$(x^2+y^2-2cxy)^2$$
一般に、$$\theta~\mathrm{rad}$$ を内角に持つ三角形の三辺の比は余弦定理によって
:このとき、三辺比の第一項と第二項に対応する二辺の成す角の角度が $$x\theta~\mathrm{rad}$$となる。ここでいう二辺の成す角とは必ずしも内角を指すものではない。辺 $ ： $AB$y$と辺 $ : $AC$$ の伸縮によっていずれか一方のみが負数倍となる場合は内角と外角が入れ替わるため、その場合は外角が $$\theta~\sqrtmathrm{x^2+y^2rad}$$ であり、内角としては $$\pi-2xy\costheta~\thetamathrm{rad}$$となる。
と表せることが知られているが、平方根項が存在しており整式ではない。角度を偶数倍することの意味は、平方根項に対応する辺 $$BC$$ の長さを $$1$$ とする相似比 $$1$$ ： $$BC$$ の相似三角形を作る（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）ことで $$BC$$ に対応する辺の長さの２乗を作り出すことにある。従って、角度を偶数倍すれば偶数乗により根号は外れる。
==導出==
角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である内角の対辺を $$x+yz$$ で表現すると、ここに見いだされる三角形の三辺比は、
:$$x$$ ： $$y$$ ： $$|x+yz|$$
であるが、である。この三角形の第三項 $$|x+yz|$$ と $$y$$ に対応する辺の狭角は $$\theta~\mathrm{rad}$$ であるため、余弦定理を用いることで:に対応する辺を 第一項 $$x$$ ： $$y$$ ： に対応する辺との交点を中心にそれらの狭角が２倍になるように回転した線分を延長して得られる直線は、$$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}yz$$と書き改めることができる。すなわち:を $$|x+yz|=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}1$$である。ここに示される三角形の とみなした相似な座標系においても $$|x+yz|$$ に対応する辺に対し、 $$x$$ に対応する辺との狭角を２倍して得られる直線はを通るため
:$$(x+yz)\times(x+yz)=x^2+y^2z^2+2xyz$$
を通る。（を通るといえる。（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）
この座標は[[みゆの累乗定理]]によって
=&(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)z\\
\end{align}
と $$z$$ の一次式の形で表すことができる。ここで示される新たな三角形の三辺比はの一次式の形で表すことができる。 これによって示された新たな三角形の三辺比は
:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$|x+yz|^2$$
であり、先程の余弦定理を用いた表現に書き改めるとであるが、$$z=e^{i(\pi-\theta)}=\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)$$ であるため\begin{align}|x+yz|=&\big|[x+y\cos(\pi-\theta)]+[y\sin(\pi-\theta)]i\big|\\=&\sqrt{[x+y\cos(\pi-\theta)]^2+[y\sin(\pi-\theta)]^2}\\=&\sqrt{(x-y\cos\theta)^2+(y\sin\theta)^2}\\=&\sqrt{x^2+y^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-2xy\cos\theta}\\=&\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}\end{align}によって
:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta$$
となる。この比率は二辺の成す角が と書き改めることができる。この比率は二辺の成す角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である三角形の三辺比といえる。
上の例では もし初めの操作で狭角が偶数倍になるように回転させた場合でも、偶数乘の相似比を想定することになるため $$|x+yz|$$ に対応する辺との狭角を２倍しているが、原理的には偶数倍によって余弦定理の平方根項が偶数乗され、根号が外れて整式となる。が偶数乗されて根号は外れる。
==みゆの三辺比恒等式==
みゆの三辺比定理で示される三角形に対して余弦定理を用いることで、以下の恒等式を導くことができる。みゆの三辺比定理で示される三角形の三辺比より、以下の恒等式を導くことができる。\begin{align}:$$&(x^2+y^2-2xy\cos\theta)^2\\=&\big[(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)e^{\pi-\theta}\big|^2\\=&(x^2-y^2)^2+(2xy-2y^2\cos\theta)^2-2(x^2-y^2)(2xy-2y^2\cos\theta)\cos\theta$$\end{align}
==拡張ピタゴラス数==