m\ddot{p}+M\ddot{q}&=&f'(t)+g'(t)\\
m\dot{p}+M\dot{q}&=&f(t)-f(0)+g(t)-g(0)\\
mp+Mq&=&\int^t_0(f(ts)+g(ts))dtds-(f(0)+g(0))t
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
G &=&\frac{mp+Mq}{m+M}\\
&=&\frac1{m+M}\left(\int^t_0(f(ts)+g(ts))dtds-(f(0)+g(0))t\right)
\end{eqnarray*}