差分

\( \sum_{k=\{x \mid 1 \leq x \leq 59, x \neq a\}} \frac{1}{p_a} + \frac{1}{60} \)

\また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる( \sum_{k=1}^{59} \frac{1}{p_k} < 2.003 \後で詳しく書く)であるから、定理6と同じ論法により片方の素因数の逆数の総和は0.94と1.06に間にあることがわかる

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} > 1===ケース1.06 \)であるから、偶数の方は210の倍数にはならない偶数の方が30の倍数のとき===

\( \frac{1}{7} \)以降の素数の逆数の総和で0.96を超えるためには少なくとも\( \frac{1}{p_{57}} \)まで足す必要がある すなわち奇数の方には素因数が少なくとも54個存在する よって偶数の方には素因数は最大5個しかない ====ケース1-a. 偶数の方が3個の素因数を持つとき=== その3個は2,3,5であるが2×3×5=30は素微分友愛数ではない ====ケース1-b. 偶数の方が4個の素因数を持つとき=== 奇数の方は55個の素因数を持つため\( 2^{55} \)より大きい よって偶数の方は\( 2^{55} \times 0.96 > 2^{54} > 2^{49} \times 30 \)より大きい しかし\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = + \frac{311}{302^{49}} > < 1.03 06 \)であるため、なのでこのケースは除外された ====ケース1-c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき=== 奇数の方は54個の素因数を持つため\( 31 2^{54} \)以下の他の素因数は全て奇数の方が持つより大きい