差分

利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究

559 バイト追加, 2022年5月15日 (日) 14:26

編集の要約なし

===定義===

無平方数$ $ n $$の最大の素因数を$ $ p_m $$とし、$ $ n $$の素因数の個数を$ $ k $$とするとき、$ $ n $$の「飛び」を$ $ m - k $$と定義する。

直感的には、最大の素因数までで「飛ばされた」素因数の個数である。

===証明===

飛びを$ $ a $$とし、これを固定する。また、$ $ N $$を飛びが$ $ a $$であるような無平方数とする

任意の正の数$ $ \varepsilon $$に対し、$ $ n > m $$ならば$ $ 2(n+a)\log{(n+a)} < n^{1+\varepsilon} $$となるような$ $ m $$が存在するので

このような最小の自然数$ $ m $$を$ $ L_1 $$と書くことにする

$ $ L_1 $$は$ $ \varepsilon $$と$ $ a $$に依存することに注意せよ

以下、$ $ n > L_1 $$とする

$ $ N $$に含まれる素因数が$ $ n $$個であるとする

このとき、$ $ N $$の最大の素因数は$ $ p_{n+a} $$であるから

$$ N' < \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^n \cdot n < \frac{1}{2} n^{n(1+\varepsilon)+1} < n^{n(1+\varepsilon)+1} $$

であるから、$$ N'$$は素因数を最大でも$ n(1+\varepsilon)+1 $個しか持たない

よって$ N' $の素因数の逆数の総和を$ T $とすると

が成り立つ

$$ f(x) =\left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \log{\log{(n+x)}} \right) $$

とし、

$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} $$

とすると

$$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A(B-1+\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2}$$

であるから、$ L_2 = \ceil(e^{e^{1-B}}) $とすると $ x \geq L_2 $であれば$ f(x) $は単調減少であるまた、$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = 0 $なので、ある$ L_3 $が存在して$ x \geq L_3 \Rightarrow f(x) < 1 $が成り立つ。よって、$ n > \max(L_2,L_3) $のとき、$ N $は素微分友愛数ではない。 ===数値計算のために=== $ a $を固定し、$ \varepsilon $を増やすと、$ L_1 $と$ L_2 $は増加し、$ L_3 $は減少する。

Nayuta Ito

Wikiいけめん

217

回編集