492
回編集
差分
編集の要約なし
== 概要 ==
===第１種ガラパゴ数列===
複素数 $$z$$ とその複素共役 $$\overline{z}$$ の和と積を係数とする三項間漸化式を次のように定める。
この数列の一般項 $$G_n$$ のなす数列を $$z$$ を生成元とする'''ガラパゴ数列第１種ガラパゴ数列'''という。
$$G_n$$ の具体値は の値は $$z$$ によって異なるため、$$z$$ が具体値をとる場合にはその値を生成元として明示する必要がある。
:$$\displaystyle G_n=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k+1}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$
と表せる。
===第２種ガラパゴ数列===
複素数 $$z$$ とその複素共役 $$\overline{z}$$ の和と積を係数とする三項間漸化式を次のように定める。
:$$\begin{cases}
G'_0=\frac{2}{z+\overline{z}}\\
G'_1=1\\
G'_n=(z+\overline{z})G'_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G'_{n-2}
\end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G'_{n+1}\\G'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\overline{z}&-z\cdotp\overline{z}\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\\frac{2}{z+\overline{z}}\end{pmatrix}$$
この数列の一般項 $$G'_n$$ のなす数列を $$z$$ を生成元とする'''第２種ガラパゴ数列'''という。
:$$\displaystyle G'_n=\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}$$
$$G'_n$$ の値は $$z$$ によって異なるため、$$z$$ が具体値をとる場合にはその値を生成元として明示する必要がある。
特に $$|z|=1$$ のとき、$$\begin{cases}z\cdotp\overline{z}=1\\z+\overline{z}=2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)\\\end{cases}$$ であることから、
:$$\displaystyle G'_n=\frac{\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$
と表せる。
:$$\begin{cases}G_0=0\\G_1=1\\G_{n+2}=(z+\overline{z})G_{n+1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n}\end{cases}$$
G_{n+2}-\overline{z}G_{n+1}=z(G_{n+1}-\overline{z}G_n)&\cdots~(1)\\
G_{n+2}-zG_{n+1}=\overline{z}(G_{n+1}-zG_n)&\cdots~(2)\\
\end{cases}$$
'''第１種ガラパゴ数列の場合'''
$$\begin{cases}
G_0=0\\
G_1=1\\
\end{cases}$$ より
G_{n+1}-zG_n=\overline{z}^{~n}(G_1-zG_0)=\overline{z}^{~n}&\cdots~(2)'\\
\end{cases}$$
:$$\begin{align*}
z^n=&\sincos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)+i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\\overline{z}^{~n}=&\sincos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)-i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\
z^n-\overline{z}^{~n}=&2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)
\end{align*}$$
:$$G_n=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\frac{2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{2i\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$
が導かれる。
'''第２種ガラパゴ数列の場合'''
$$\begin{cases}
G'_0=\frac{2}{z+\overline{z}}\\
G'_1=1\\
\end{cases}$$ より
$$\begin{cases}
G'_{n+1}-\overline{z}G'_n=z^n(G'_1-\overline{z}G_0)=z^n\left(1-\frac{2\overline{z}}{z+\overline{z}}\right)=\frac{z^n(z-\overline{z})}{z+\overline{z}}&\cdots~(1)''\\
G'_{n+1}-zG'_n=\overline{z}^{~n}(G'_1-zG_0)=\overline{z}^{~n}\left(1-\frac{2z}{z+\overline{z}}\right)=\frac{\overline{z}^{~n}(\overline{z}-z)}{z+\overline{z}}&\cdots~(2)''\\
\end{cases}$$
$$(1)''$$ の両辺より $$(2)''$$ の両辺をそれぞれ引いて
$$\begin{align*}
(z-\overline{z})G'_n=&\frac{(z^n+\overline{z}^n)(z-\overline{z})}{z+\overline{z}}\\\\
\therefore~G'_n=&\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}\end{align*}$$
また、$$|z|=1$$ のとき $$|z^n|=|\overline{z}^{~n}|=1^n=1$$ であるため、
:$$\begin{align*}
z^n=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)+i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\
\overline{z}^{~n}=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)-i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\
z^n+\overline{z}^{~n}=&2\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)
\end{align*}$$
といえる。従って
:$$G'_n=\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}=\frac{2\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\frac{\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$
===ガラパゴ累乗定理の係数列===
[[ガラパゴ累乗定理]] とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$z+\overline{z}$$ と $$z\cdot\overline{z}$$ を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$z$$ の一次式で表せるという定理であり、$$z$$ を生成元とするガラパゴ数列 を生成元とする第１種ガラパゴ数列 $$G_n$$ を用いて次のように表すことができる。
===ガラパゴ三角関数のマクローリン展開係数列===
[[ガラパゴ三角関数]] とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数でも $$+1$$ とは独立した元とみなす）とする斜交座標系において、
極座標 $$e^{xz}$$ を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数であり、ガラパゴ数列 を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数であり、第１種ガラパゴ数列 $$G_n$$ を用いて次のように表すことができる。
自然数 $$k$$ に対して、'''第 $$k$$ 貴金属数'''は２次方程式 $$x^2-kx-1=0$$ の正の解 $$\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2$$ である。
:$$\begin{cases}\displaystyle G_n=\frac{\phi^n-(-\phi^{-1})^n}{\phi-(-\phi^{-1})}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdotp\phi^{n-2k-1}=F_n&\cdots~フィボナッチ数\\\displaystyle G'_n=\frac{\phi^n+(-\phi^{-1})^n}{\phi+(-\phi^{-1})}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdotp\phi^{n-2k-1}=L_n&\cdots~リュカ数\\\end{cases}$$