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差分
素微分
,編集の要約なし
'''素微分'''(そびぶん、'''Arithmetic derivative''')とは、数値に対して定義された微分の類似物である。
そのため、一般の微分法とは異なる手法であることに注意していただきたい。
:$$\displaystyle n=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{q_i}$$
と素因数分解する。($$p_{i}$$は$$i$$番目に小さい素数)
このとき$$n$$の素微分$$n'$$を
:$$\begin{align*}
14'=&(2\times 7)'\\
=&2'14\times 7 \left(\frac{1}{2}+2\times frac{1}{7'}\right)\\
=&7+2\\
=&9
を$$a$$の'''対数素微分(関数)'''(arithmetically logarithmic (function))という。
便宜上$$\text{ld}(0)=\infty$$とする。
この関数は完全加法的(つまり$$\text{ld}(ab)=\text{ld}(a)+\text{ld}(b)$$を満たす)である。
(証明始)
:$$\begin{align*}
:$$1-\text{ld}(n)\geqq 0\cdots(1)$$
が成り立ち、$$n\in \mathbb{N}$$から$$\text{ld}(n)\geqq 0$$となり、仮定よりnは素微分完全数でなく、nはpを約数に持たないのでとなり、仮定より$$n$$は素微分完全数でなく、$$n$$は$$p$$を約数に持たないので$$(1)$$と合わせて$$\text{ld}(n)=0$$となって$$n=1$$が分かる。
よって$$p=k,n=1$$より、$$a=p^p$$となる。
(補題証明終)
いま$$2$$から$$p(\geqq5)$$(≧5)までを全て掛け合わせた素数階乗を$$P$$とする。
:$$P=2\times 3\times \ldots \times p$$
同様に$$P'$$は$$3,5,\ldots ,p$$の倍数でない。
そして$$P$$は合成数より、$$P'$$は$$1$$より大きいから少なくとも1つの素因数をもつ。
また、$$\text{Inld}(P)=\frac12+\frac13+\ldots+\frac1p≧\frac12+\frac13+\frac15>1$$なので$$P'>P$$。
ゆえに$$P'$$は$$p$$より大きい素因数をもつ。
これよりいくらでも大きい素数を作れるので素数は無限個存在することが示された。
== 未解決問題 ==
=== 素微分友愛数 素微分友愛数の存在 ===
$$n,m\in \mathbb{N}$$とする。
=== 素微分社交数 素微分社交数の存在 ===
:$$\begin{align*}
{a_k}'=&a_{k+1}\\
\end{align*}$$
を満たす相異なる自然数$$a_1,\ldots ,a_n$$の組を'''素微分社交数'''とする。
現在、素微分完全数以外の素微分社交数は見つかっておらず、存在するかしないかの証明はなされていない。