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差分
編集の要約なし
関数 $$f(x)$$ に対して
:$$\displaystyle{\frac d{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+1)-f(x)}h}$$
なる $$\frac d{dx}f(x)$$ が $$f(x)$$ の微分であった。
ここで $$h\to0$$ という極限を取るのではなく $$h=1$$ と固定すると
:$$\displaystyle{\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
となる。
==積分法と和分法==
===定積分と定和分===
関数 $$f(x)$$ に対して
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$
で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの'''定和分'''と呼び、右図の灰色の部分の面積を表す。
この時右図の長方形の横幅はそれぞれ $$1$$ であるが、この幅の $$0$$ への極限をとった時の面積が
:$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$$
であり、 $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの定積分である。
差分の逆演算をしたもの、すなわち
:$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$
を満たす $$\displaystyle{\sum f(x)\,\delta x}$$ を$$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。
==和分差分学の基本定理==
:$$\displaystyle{\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t=f(x)}$$
すなわち $$F(x)=\sum f(x)\,\delta x$$ とした時
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$
が成立する。