これは大学入試と「物理」においてよく使われる計算や数学的知識をまとめたものである。
目次
定義など
速度と加速度
\begin{eqnarray*} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} (\text{速度})& \bm{v}&:=&\dot{\bm{x}}\\ (\text{加速度})& \bm{a}&:=&\dot{\bm{v}} \end{eqnarray*}
微積分
\[\frac{dy}{dx}==a \\\Leftrightarrow y=ax+C\] \[\frac{d^2y}{dx^2}==a \\\Leftrightarrow y=\frac12ax^2+Ax+B\]
\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \int \ddot{\bm{y}}\cdot d\bm{y} = \frac12 |\dot{\bm{y}}|^2 + \text{const.}\]
微分方程式
\(y\) は \(x\) の関数とする。
斉次線型常微分方程式
1階
\[y'==ay\] の一般解は \begin{eqnarray*} y=Ae^{ax} \end{eqnarray*} とおける。
2階
\[y''+\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& A\cos\omega x +B\sin\omega x\\ &=& C\cos(\omega x+\theta) \end{eqnarray*} とおける。
また、 \[y''-\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& Ae^{\omega x} +Be^{-\omega x} \end{eqnarray*} とおける。
n階
一般に \[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\] の一般解は、 \[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\] の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、 \[y=A_ne^{\alpha_n x}+ A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+ A_1e^{\alpha_1 x}\] とおける。
非斉次線型常微分方程式
\(y^{(0)}=y\) とする。 \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=f(x)\] これの一般解は、この特殊解 \(g(x)\)と \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=0\] の一般解 \(G(x)\) を用いて \[y=G(x)+g(x)\] と表せる。
ベクトル解析
ある閉曲面 \(S\) に囲まれた領域 \(V\) において、 \[\int_V \div \bm A dv= \int_S \bm A \cdot d\bm s\]
ある閉曲線 \(C\) に囲まれた曲面 \(S\) において、 \[\int_S \operatorname{rot} \bm A\cdot d\bm s= \int_C \bm A\cdot d\bm l\]