入試「物理」での計算

これは大学入試と「物理」においてよく使われる計算や数学的知識をまとめたものである。

目次

微積分

\[\frac{dy}{dx}==a \\\Leftrightarrow y=ax+C\] \[\frac{d^2y}{dx^2}==a \\\Leftrightarrow y=\frac12ax^2+Ax+B\]

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\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \int \ddot{\bm{y}}\cdot d\bm{y} = \frac12 |\dot{\bm{y}}|^2 + \text{const.}\]

微分方程式

\(y\) は \(x\) の関数とする。

斉次線型常微分方程式

1階

\[y'==ay\] の一般解は \begin{eqnarray*} y=Ae^{ax} \end{eqnarray*} とおける。

2階

\[y''+\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& A\cos\omega x +B\sin\omega x\\ &=& C\cos(\omega x+\theta) \end{eqnarray*} とおける。

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また、 \[y''-\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& Ae^{\omega x} +Be^{-\omega x} \end{eqnarray*} とおける。

n階

一般に \[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\] の一般解は、 \[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\] の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、 \[y=A_ne^{\alpha_n x}+ A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+ A_1e^{\alpha_1 x}\] とおける。

非斉次線型常微分方程式

\(y^{(0)}=y\) とする。 \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=f(x)\] これの一般解は、この特殊解 \(g(x)\)と \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=0\] の一般解 \(G(x)\) を用いて \[y=G(x)+g(x)\] と表せる。