利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究

$ p_n $で$ n $番目の素数を表す。また、$ \log $は全て自然対数である。

予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする

(2p)'=p+2である

p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくる

pを6で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になる

2a+1=bとおくと2p=(2p)''=(2a+1)+3b'となる

これが偶数ということはb'は奇数

b'=2c+1とすると

a+3c+2=pである

p=6a+1と仮定したのでa%3=2

a=3d+2とする(このときp=18d+13である)

3d+3c+4=pである

このとき明らかにc+dは奇数

p=6a-1のとき

p+2=6a+1は奇数

予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする

(5p)'=p+5である

p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる

かなりえぐい

pを5で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+5=6a+6=2・3(a+1)

(p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)'

すなわち6(a+1)'=a+1である

a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする

このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから

6(a+1)'=30b+36b'>6b=a

よって矛盾が生じた

p=6a-1のとき

p%4=1なのでp=12b+5と書ける

p+5=2(6b+5)は偶数

6b+5=cとおくと(5p)''=(6b+5)+2c'となる

定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない

素数定理

Rosser's Theoremによると、$ n $番目の素数は$ n \log{n} $より大きい。

また、$ n \geq 6 $のとき、$ n $番目の素数は$ n (\log{n} + \log{\log{n}}) $より小さいことが知られている。

$ n (\log{n} + \log{\log{n}}) < 2n \log{n} $であることは容易にわかる。また、数値計算と合わせて$ p_n < 2n \log{n} $が$ n \geq 3 $で成り立つことが分かる。

証明

10番目(29#)までの素数階乗は実験により素微分友愛数でないことが確かめられる

$ n \geq 11 $とする

N=(n番目の素数階乗)について考えその大きさを評価する

$ N < (2n \log{n})^n $である

$ \begin{align*} & N' \\ <& \frac{1}{2} \cdot (2n \log{n})^n \cdot n \\ =& 2^{n-1} \cdot (\log{n})^n \cdot n^{n+1} \\ =& n^{n+1 + (n-1)\log_n{2} + n\log_n{\log{n}}} \\ <& n^{n+1 + n\log_n{(2\log{n})}} \\ <& n^{n+1 + n\log_n{(2n^{0.37})}} (\because \log{n} \leq n^{\frac{1}{e}}) \\ <& n^{n+1 + 0.37n + n\log_n{2}} \\ <& n^{n+0.1n + 0.37n + 0.29n} \\ <& n^{1.76n} \end{align*} $

$ N' $の素因数は$ n $より大きいので、素因数は最大でも$ 1.76n $個しか持たない

よって$ N' $の素因数の逆数の総和を$ T $とすると

$ 0 < T < \frac{1.76n}{n\log{n}} = \frac{1.76}{\log{n}} $

が成り立つ

また$ N $の素因数の逆数の総和を$ S $とすると

$ \begin{align*} & S \\ <& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p_n} \\ \leq & \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \sum_{k=11}^n \frac{1}{n\log{n}} \\ <& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \int_{10}^n \frac{1}{x\log{x}} dx (\because \frac{1}{x\log{x}}は単調減少) \\ =& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \log{\log{n}} - \log{\log{10}} \\ <& \log{\log{n}} + 0.7 \\ \end{align*} $

であるから

$ S \cdot T < \frac{1.76}{\log{n}}(\log{\log{n}} + 0.7) $

である。

$ f(x) = \frac{1.76}{\log{x}}(\log{\log{x}} + 0.7) $

とおくと、

$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{1.76(\log{\log{x}}-0.3)}{x(\log{x})^2} $

であるから、$ x > 4 > e^{e^{0.3}} $で$ f(x) $は単調減少である。

数値計算によると$ x \geq 30 $で$ f(x) < 1 $となるから矛盾。

よって$ 29 $番目の素数階乗まで調べればよい。わんだほーい！！！

実験

コード

$ \left(p_n\#\right)' $を計算するPython3のコード

# coding: utf-8
# Your code here!

import sympy

n = 10

primes = []

for i in range(n*n):
    if sympy.isprime(i):
        primes.append(i)
    if len(primes) == n:
        break

total = 0

for p1 in primes:
    term = 1
    for p2 in primes:
        if p1 != p2:
            term *= p2
    total += term

print(total)
print(sympy.factorint(total))

判定法

$ 29 $番目までの素数の逆数和が$ 2 $に満たないこと、$ \frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{23} < 0.5 $であることから、$ 5\# $以降について、素因数が6個以下であれば素微分友愛数ではないことがわかる。

結果

(2#)'=1=1
(3#)'=5=5
(5#)'=31=31
(7#)'=247=13×19
(11#)'=2927=2927
(13#)'=40361=40361
(17#)'=716167=19×37693
(19#)'=14117683=37×381559
(23#)'=334406399=43×163×47711
(29#)'=9920878441=269×36880589
(31#)'=314016924901=61×4253×1210397
(37#)'=11819186711467=79×82913×1804421
(41#)'=492007393304957=2683561×183341237
(43#)'=21460568175640361=47×456607833524263
(47#)'=1021729465586766997=1559×655374897746483
(53#)'=54766551458687142251=1701437×32188409831623
(59#)'=3263815694539731437539=1087×3002590335363138397
(61#)'=201015517717077830328949=201015517717077830328949
(67#)'=13585328068403621603022853=13585328068403621603022853
(71#)'=972416614407737400870501653=653×24310877×61254579539162813
(73#)'=71544353681891529224514036059=79×905624730150525686386253621
(79#)'=5692733621468679832887230172131=5692733621468679832887230172131
(83#)'=475714535349241099037539188841003=6991×17117×31727×125299823719985846887
(89#)'=42605658161771733665696611824842057=128427649157×331748330218886478419701
(97#)'=4156517583588203716343221884611037839=11887×349669183443106226663011851990497
(101#)'=422113843906354093775418512493046577809=2549×165599781838506902226527466650861741
(103#)'=43710588286712969019768170103664304877397=20831283974697087833×2098314647325937289309
(107#)'=4701017770207212913287900722730772880277689=109×25013×45090757000504693×38239489461719284069
(109#)'=514977313070181206962860776592994315598662571=155963971×3301899212800764139064276432106196601

以上より示された。

予想: 「飛び」ごとに素微分友愛数は高々有限個しか存在しない

成り立つか怪しい

補題

補題1

$ x > 1, y \geq 1 $のとき$ \log(x+y) < \log(x) + \frac{y}{x} $

$ y $の関数$ \log(x+y) $は上に凸なので$ \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} $が従う

補題2

$ x > 1, y \geq 1 $のとき

$$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$

定義

無平方数$ n $の最大の素因数を$ p_m $とし、$ n $の素因数の個数を$ k $とするとき、$ n $の「飛び」を$ m - k $と定義する。

直感的には、最大の素因数までで「飛ばされた」素因数の個数である。

たとえば、素数階乗の飛びは0であり、2×5×13の飛びは3である。

証明

飛びを$ a $とし、これを固定する。また、$ N $を飛びが$ a $であるような無平方数とする

任意の正の数$ \varepsilon $に対し、$ n > m $ならば$ 2(n+a)\log{(n+a)} < n^{1+\varepsilon} $となるような$ m $が存在するので

このような最小の自然数$ m $を$ L_1 $と書くことにする

$ L_1 $は$ \varepsilon $と$ a $に依存することに注意せよ

以下、$ n \geq L_1 $とする

$ N $に含まれる素因数が$ n $個であるとする

このとき、$ N $の最大の素因数は$ p_{n+a} $であるから

$$ N' < \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^n \cdot n < \frac{1}{2} n^{n(1+\varepsilon)+1} < n^{n(1+\varepsilon)+1} $$

であるから、$ N' $は$ p_{n+a} $以降の素因数を最大でも$ n(1+\varepsilon)+1 $個しか持たない

よって$ N' $の素因数の逆数の総和を$ T $とすると

$$ \sum_{k=1}^{n+a} \frac{1}{p_n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{(n+a)}} - \log{\log{2}} < \log{\log{(n+a)}} + 1.2 < \frac{a}{n\log{n}} + 1.2 $$

であるから

これ以下書き直し。定理自体はたぶんあってる

$ 0 < T < \log{\log{(n+a)}} + 1.2 + \frac{n(1+\varepsilon)+1}{n\log{n}} \leq \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{n}} + \frac{a}{n\log{n}} + 1.2 $

が成り立つ

+1.2が厄介だ。1/lognオーダーになることを示そうとしているのに定数が出てくるのはまずい

また$ N $の素因数の逆数の総和を$ S $とすると

$$ 0 < S < \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \log{\log{(n+a)}}$$

が成り立つ

$$ f(x) = \left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + 2\log{\log{x}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}} \right) $$

とし、

$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}}$$

とすると

$$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A(B-2+2\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2} $$

であるから、$ L_2 = \mathrm{ceil}(e^{e^{2-B}}) $とすると

$ x \geq L_2 $であれば$ f(x) $は単調減少である

また、$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = 0 $なので、ある$ L_3 $が存在して$ x \geq L_3 \Rightarrow f(x) < 1 $が成り立つ。

よって、$ n \geq \max(L_2,L_3) $のとき、$ N $は素微分友愛数ではない。

数値計算のために

$ a $を固定し、$ \varepsilon $を増やすと、$ L_1 $と$ L_2 $は増加し、$ L_3 $は減少する。上記の定理から、$ x < \max(L_1, L_2, L_3) $のときだけを調べればよい。よって、$ \max(L_1, L_2, L_3)) $が最小となるように$ \varepsilon $を取れば最適にできる。

これ以下書き直し。定理の主張には影響しない

Pythonのコード

aの値は1個ずつにしないとPaizaがタイムアウトするので注意

# coding: utf-8
# Your code here!

from scipy.special import lambertw
import numpy as np

def f1(x, a, e):
    return 2 * (x + a) * np.log(float(x))

def f2(x, a, e):
    return x ** (1 + e)

def f3(x, a, b, e):
    return (a / np.log(float(x))) * (b + np.log(np.log(float(x + e))))

def getls(a, e):
    l1 = 0
    if a > 0:
        l1bottom = 10
        l1top = 20 # e^eより大きい値をセットする
        
        while f1(l1top, a, e) > f2(l1top, a, e):
            l1bottom *= 2
            l1top *= 2
        
        while l1top - l1bottom > 1:
            l1mid = (l1bottom + l1top) // 2
            if f1(l1mid, a, e) > f2(l1mid, a, e):
                l1bottom = l1mid
            else:
                l1top = l1mid
        if f1(l1bottom, a, e) > f2(l1bottom, a, e):
            l1 = l1top
        else:
            l1 = l1bottom
    else:
        l1 = 2
    
    capbbottom = 1 / 2 + 1 / 3 + (1 / 2 * (np.log(np.log(float(l1))) - np.log(np.log(2.0)))) - np.log(np.log(float(l1)))
    capbtop = 1 / 2 + 1 / 3 + (np.log(np.log(float(l1))) - np.log(np.log(2.0))) - np.log(np.log(float(l1)))
    l2top = int(np.exp(np.exp(1 - capbbottom))) + 1
    
    capa = 1 + e + 1 / l1
    capb = capbtop

    l3bottom = l2top
    l3top = l3bottom * 2
    
    while f3(l3top, capa, capb, e) > 1:
        l3top *= 2
    while l3top - l3bottom > 1:
        l3mid = (l3bottom + l3top) // 2
        if f3(l3mid, capa, capb, e) > 1:
            l3bottom = l3mid
        else:
            l3top = l3mid
    if f3(l3bottom, capa, capb, e) > 1:
        l3 = l3top
    else:
        l3 = l3bottom
    return [l1, l2top, l3]

for a in range(1, 11):
    minl = 1000
    mine = 0
    minls = []
    
    for e in np.linspace(0.1, 1.0000, 9001):
        ls = getls(a, e)
        l = max(ls[0], ls[1], ls[2])
        if minl > l:
            minl = l
            mine = e
            minls = ls
    print(f"<tr><td>{a}</td><td>{mine}</td><td>{minls[0]}</td><td>{minls[1]}</td><td>{minls[2]}</td></tr>")

結果

$ a $	$ \varepsilon $	$ L_1 $	$ L_2 $	$ L_3 $
1	0.5239	55	8	54
2	0.5283	55	8	55
3	0.5312	56	8	56
4	0.5338	57	8	57
5	0.5378	57	8	57
6	0.5401	58	8	58
7	0.5422	59	8	58
8	0.5459	59	8	59
9	0.5478	60	8	60
10	0.5495	61	8	60

・・・数値が非常にsusである。~~susすぎてsus4になりそう~~

Desmosで確かめたところあってそうである。なんでa=0のとき30まで下げられたんだろう

利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究

目次

予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない

p=6a+1のとき

p=6a-1のとき

予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない

p=6a+1のとき

p=6a-1のとき

定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない

素数定理

証明

実験

コード

判定法

結果

予想: 「飛び」ごとに素微分友愛数は高々有限個しか存在しない

補題

補題1

補題2

定義

証明

数値計算のために

Pythonのコード

結果