この記事では、巨大数における有限と無限について解説する。
目次
第0章 RPGの塔
無限のモンスターが住まう無限の塔を考える。ただし、この塔はイギリスにあるものとする。
塔の0階には受付の人間がいて、それより上の階には1匹ずつモンスターがいる。モンスターの強さには、以下のような関係があるものとする。
- 全てのモンスターは人間より強い。
- XがYより強く、YがZより強いなら、XはZより強い。すなわち、強さに3すくみのような「ループ」は存在しない。
- 任意のモンスターに対し、そこから「それより弱いモンスターを選ぶ」という操作をいつか繰り返すと、必ずいつかは弱いモンスターがいなくなる。
具体例
つまらない例
上に行くほど強くなる無限の塔を考える。
すなわち、強さの序列が0階<1階<2階<・・・と無限に続いていく。
この塔は上の条件を全て満たしている。3つ目の条件を満たすことを厳密に示すためには数学的帰納法が使用される。
多少は面白い例
偶数階・奇数階ごとに上に行くほど強くなる無限の塔を考える。また、奇数階は上級者向けであり、奇数階のどのモンスターも偶数階の全てのモンスターを一撃で倒せるものとする。
このときの強さの序列は0階<2階<4階<・・・<1階<3階<5階<・・・となり、無限をさらに超えて続いていく。
この塔は上の条件を全て満たしている。3つ目の条件を満たすことを厳密に示すためには数学的帰納法を拡張した超限帰納法と呼ばれる証明法が使用される。