数列と微分積分

🤔	この記事はがーと (トーク)による独自研究です。

この記事は主に高校数学においての数列と微分積分法の分野の関係についての独自研究である。なお、この記事は編集中である。

はじめに

高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。

極限を扱う微分積分よりも以下に述べる和分差分は直感的に分かりやすい為、数列だけでなく微分積分の見方も変わるかも知れない。

関数 $$f(x)$$ に対して

$$\displaystyle{\frac d{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+1)-f(x)}h}$$

なる $$\frac d{dx}f(x)$$ が $$f(x)$$ の微分であった。

ここで $$h\to0$$ という極限を取るのではなく $$h=1$$ と固定すると

$$\displaystyle{\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$

となる。このとき$$\Delta f(x)$$を$$f(x)$$の差分と呼ぶ。 ^{[注 1]}

また、微分と同様に $$f(x)$$ の定数項は $$\Delta f(x)$$ に関係がないことは微分よりも明確にわかる。

$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$

で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの定和分と呼び、上図の灰色の部分の面積を表す。 ^{[注 2]}

この時上図の長方形の横幅はそれぞれ $$1$$ であるが、この幅の $$0$$ への極限をとった時の面積が

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$$

であり、 $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの定積分である。

微分の逆演算をしたもの、すなわち

$$\displaystyle{\frac d{dx}\int f(x)\,dx=f(x)}$$

を満たす $$\int f(x)\,dx$$ を $$f(x)$$ の不定積分と呼んだが、差分の逆演算をしたもの、すなわち

$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$

を満たす $$\sum f(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の不定和分と呼ぶ。 ^{[注 3]}

上述の通り差分は元の関数の定数項に関係ないため、不定和分は不定積分と同様に定数項が任意定数となる。

$$\displaystyle{\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t=f(x)}$$

すなわち $$F(x)=\sum f(x)\,\delta x$$ とした時

$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$

が成立する。

これは微分積分学の基本定理に対応する。