質点の方程式

質点とみなせる物体の運動は大抵次の式で表現する。 \[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\]

ここで \(m\) は質点の質量(定数)、 \(F\) はその質点にかかる合力( \(t\) の関数)であり、 \(x\) は位置ベクトル( \(t\) の関数)である。

例

時刻 \(t=0\) に、質量 \(m\) の質点 \(P\) が原点で静止している。ここで \((mg\cdot\ln(t+1),mg,0)\) の力をかける。 ( \(g\) は定数)

時刻tでの \(P\) の座標を \(\bm{x}\) とすると、 \[m\ddot{\bm{x}}=\left( \begin{array}{c} mg\cdot\ln(t+1)\\mg\\0 \end{array}\right) \] \[\ddot{\bm{x}}=\left( \begin{array}{c} g\cdot\ln(t+1)\\g\\0 \end{array}\right) \] \[\bm{x}&=\left( \begin{array}{c} g\cdot\int\left((t+1)\cdot\ln(t+1)-t\right)dt\\\frac12gt^2+at+b\\0 \end{array}\right) \]