積分

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積分とは、不定積分と定積分の2種類があり、関数 $$f(x)$$ の原始関数 $$F(x)$$ を求めるものが不定積分といい、

$$\displaystyle{\int f(x)\ dx=F(x)+C}$$

と表す。 なおここで $$C$$ は任意定数を表し、積分定数と呼ぶ。

定積分は、 $$x$$ の区間 $$[a,b]$$ を定め、

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)}$$

と定める。 この時、定積分は $$f(x)$$ と $$x$$ 軸、 $$x=a,\ x=b$$ という線に囲まれた部分の符号付き面積を表す。

厳密にはリーマン積分とルベーグ積分があるが、ここではリーマン積分のことを単に積分と呼ぶ。

定義

有界閉区間 $$[a,b]$$ 上で定義された有界な関数 $$f(x)$$ に対しての定積分を定義する。

$$[a,b]$$ の分割

$$\displaystyle{\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b}$$

を考える。

この時、$$i=1,2,3,\dots ,n$$ に対し $$M_i$$ と $$m_i$$ を次のように定義する。

$$\displaystyle{M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)}$$

$$\displaystyle{m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)}$$

更に、分割 $$\Delta$$ に対し $$S_\Delta$$ を過剰和、 $$s_\Delta$$ を不足和と呼び次のように定義する。

$$\displaystyle{S_\Delta =\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})}$$

$$\displaystyle{s_\Delta =\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}$$

ここで、任意の分割 $$\Delta$$ に対する過剰和 $$S_\Delta$$ と不足和 $$s_\Delta$$ の下限と上限を考え、その値を次のように定め

$$\displaystyle{\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\inf_{\Delta}S_\Delta}$$

と表し上積分と呼び

$$\displaystyle{\underline{\int_a^b}f(x)\ dx=\sup_{\Delta}s_\Delta}$$

と表し下積分と呼ぶ。

この時

$$\displaystyle{\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\underline{\int_a^b}f(x)\ dx}$$

が成立する時に $$f(x)$$ は積分可能であると言い、$$f(x)$$ の区間 $$[a,b]$$ による定積分を

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx}$$

と表し、その値を

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx=\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\underline{\int_a^b}f(x)\ dx}$$

と定める。

また、不定積分はある適当な実数 $$c$$ から変数 $$x$$ までの定積分に積分定数を加えたものとして定義する。

区分求積法

高等学校までの積分は以下のような極限値がある時に閉区間 $$[0,1]$$ で積分可能といい、その極限値を定積分の値と定める。

$$\displaystyle{\int_0^1f(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}$$

これだけでは汎用性が少ないので、次のように任意の閉区間 $$[a,b]$$ についての定義も存在する。

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{bk}{n}\right)}$$

$$n$$ 変数関数の積分

積分は $$1$$ 変数の実数値関数のみでなく $$n$$ 変数の実数値関数に対しても定義ができる。 本質は変わらないため、その定義は殆ど先程の定義を繰り返す事になる。

$$n\in\mathbb{N}$$ に対して、有界な関数 $$f:\Omega\to\mathbb{R}$$ の有界閉集合 $$\Omega\in\mathbb{R}^n$$ 上での $$n$$ 重定積分を定義する。

$$\Omega\subset[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n]\in\mathbb{R}^n$$ となるような実数列 $$\{a_k\}_{k=1}^{n},\ \{b_k\}_{k=1}^{n}\in\mathbb{R}$$ を考え

$$\tilde{\Omega}=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n]$$

という有界閉集合 $$\tilde{\Omega}$$ を定める。 この時、有界な関数 $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$ に対し、次の関数 $$\tilde{f}:\tilde{\Omega}\to\mathbb{R}$$ を定める。

$$\tilde{f}(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left\{\begin{align*}f(x_1,x_2,\dots,x_n)\hspace{10pt}((x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Omega) \\ 0 \hspace{10pt}((x_1,x_2,\dots,x_n)\not\in\Omega)\end{align*}\right.$$